https://en.wikipedia.org/wiki/Rodrigues%27_rotation_formula#Statement
羅德里格斯的旋轉公式
這篇文章是關於羅德里格斯的旋轉公式，它與相關的歐拉羅德里格斯參數和歐拉羅德里格斯公式的3D旋轉不同。
在三維旋轉理論中，對於給定旋轉軸和旋轉角度，以Olinde Rodrigues命名的羅德里格斯公式是用於在空間旋轉向量的高效算法。通過擴展，它可以用於把所有軸角表達的三維向量轉化為SO(3)中的旋轉矩陣，S0(3)是包含所有旋轉矩陣的群。換句話說，羅德里格斯公式提供了一種算法來計算從SO（3）的李代數so（3）到李群SO（3）的指數映射，而沒有實際計算全矩陣指數。
定義
假設v是R3中的一個向量，並且k是一個描述旋轉軸的單位向量，v根據右手規則旋轉角度θ，則Rodrigues公式為
另一種說法是將軸向量作為定義旋轉平面的任意兩個非零向量a和b的交叉乘積a×b，並且角度θ的方向是從a向b測量的。令α表示這些向量之間的角度，兩個角度θ和α不需要等同，但是它們的測量方式相同。 然后可以單位軸向量可以寫為
當涉及定義平面的兩個向量時，這種形式可能更有用。物理學中的一個例子是托馬斯歲差，它包括由羅德里格斯公式給出的旋轉，用兩個非共線助推速度表示，旋轉軸垂直於它們的平面。
求導
令k是定義旋轉軸的單位矢量，令v是以角度θ圍繞k旋轉的任意向量（右手定則，圖中逆時針）。
使用點乘和叉乘，向量v可以分解成與軸k平行和垂直的分量，
與k平行的分量是
稱為v在k上的向量投影，垂直於k的分量為
稱為k從v的向量拒絕。
矢量k×v可以看作是v⊥逆時針旋轉90°左右的副本，所以它們的大小相等，但是方向是垂直的。同樣，向量k×（k×v），v⊥的一個副本逆時針旋轉180°到k左右，使得k×（k×v）和v⊥的大小相等，但方向相反（即它們是互為負數，因此減號）。擴展矢量三重乘積建立了平行分量和垂直分量之間的連接，參考公式為a×（b×c）=（a·c）b - （a·b）c 給定任意三個向量a，b，c。
平行於軸的分量在旋轉下不會改變幅度和方向，
根據以上分析，只有垂直分量才會改變方向，但保持其大小
並且由於k和v||是平行的，所以它們的叉積是零 k×v|| = 0，因此
並且
這種旋轉是正確的，因為矢量v⊥和k×v具有相同的長度，並且k×v是v⊥圍繞k逆時針旋轉90°。使用三角函數正弦和余弦對v⊥和k×v進行適當的縮放給出旋轉的垂直分量。旋轉分量的形式類似於笛卡爾基的2D平面極坐標（r，θ）中的徑向向量
其中ex，ey是它們指示方向上的單位向量。
現在完整的旋轉矢量是
用等式結果中的v ||rot和v⊥rot的定義代替
矩陣表示
將v和k×v表示為列矩陣，叉積可以表示為矩陣乘積
令K表示單位向量k的“叉積矩陣
矩陣方程可以表示為
對於任何向量v（實際上，K是具有這個性質的獨特矩陣，它具有特征值0和±i）。
而且，由於k是單位向量，所以K具有單位2-范數。 因此矩陣語言中的上一個旋轉公式是
請注意，在這個表示法中，主要術語的系數現在是1。
將v分解可以實現緊湊表達式
這里
是圍繞軸k逆時針旋轉角度θ的旋轉矩陣，I是3×3單位矩陣。矩陣R是旋轉群SO（3）的一個元素，K是李代數的一個元素，所以so(3)生成李群（注意K是負對稱的，這表征了so(3)的特性）。 就矩陣指數而言，
為了理解最后的恆等式，要注意到
單參數子群的特征，即指數，並且公式與無窮小θ相匹配。
對於基於這種指數關系的替代推導，請參閱從so（3）到SO（3）的指數映射。 對於逆映射，請參見從SO（3）到so（3）的日志映射。
