羅德里格斯公式推導

羅德里格斯（Rodrigues）旋轉方程

 

此公式有2種形式，故而也有2種推導方法。具體的推導過程如下

 

一、條件

定義向量k是旋轉軸的單位矢量，圖中初始向量v繞k軸旋轉Θ角得v_rot

二、說明

所謂推導旋轉方程，實則求出一個旋轉矩陣R，使得v_rot=Rv。所以我們要做的就是找出v_rot與v之間的關系，並用矩陣來表示。

三、推導

1. 推導一

對v進行向量分解：　v = v_⊥+ v_//

由點乘的投影幾何意義可得： v_// = (v • k)k         (v•k為標量，所以再乘k得到一個矢量)

根據向量減法可得：   v_⊥= v - v_// 

由旋轉過程平行向量不變得：  v_{rot //}= v_//

為計算方便，對v_rot⊥進行向量分解：v_rot⊥=a+b

由圖中的向量關系經推導可得：b= cosΘ v_⊥      a=sinΘ k x v   (推導在文章末尾）

綜上可得：v_rot = v_rot⊥+v_{rot //}

　　　　　　  = a + b + v_//

　　　　　　  = sinΘ k x v  + cosΘ v_⊥ + (v • k)k

　　　　　　  = sinΘ k x v  + cosΘ (v - v_//)+ (v • k)k

　　　　　　  = sinΘ k x v  + cosΘ (v - (v • k)k)+ (v • k)k

　　　　　　  = cosΘ v + (1 - cosΘ )(v • k)k + sinΘ k x v

顯然：到此步，我們還無法將其用矩陣來表示，所以需要對 (v • k)k 和 k x v 進行矩陣轉換

由結合律和點乘的交換律得(v • k)k=k •(v • k）=k • (k^τ • v)=k•k^τ•v  ，其中的向量都是列向量

對於k x v可用叉乘矩陣來化簡為Kv

 

所以，cosΘ v + (1 - cosΘ )(v • k)k + sinΘ k x v

　　　= cosΘ v + (1 - cosΘ )kk^τv + sinΘKv

　　　=( cosΘ I + (1 - cosΘ )kk^τ + sinΘK ) v　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 　　  =Rv

所以，旋轉矩陣R=cosΘ I + (1 - cosΘ )kk^τ + sinΘK，其中I為單位矩陣。

 

2.推導二

與推導一相比，推導二的不同主要在於用叉乘去表示一些數據

用叉乘來表示v_⊥可得：v_⊥= -k x (k x v)

所以聯立推導一中各式得： v_rot = v_rot⊥+ v_{rot //}

　　　　　　　　　　　　　　= a + b + v_//

　　　　　　　　　　　　　　= sinΘ k x v  + cosΘ v_⊥ + v - v_⊥

　　　　　　　　　　　　　　= sinΘ k x v - cosΘk x (k x v) + v + k x (k x v)

　　　　　　　　　　　　　　= v + (1 - cosΘ)k x (k x v) + sinΘ k x v

　　　　　　　　　　　　　　= v + (1 - cosΘ)K²v + sinΘ Kv     (叉乘矩陣表示)

　　　　　　　　　　　　　　=（I +  (1 - cosΘ)K² + sinΘ K) v

　　　　　　　　　　　　　　=Rv

從而得出第二種表達式R=I +  (1 - cosΘ)K² + sinΘ K

顯然，第二種表達式更為簡便，在計算的過程中涉及的參數更少，所以這也是在進行旋轉操作時常用的公式。

 

關於a和b的推導

a和b是由Vrot⊥正交分解得到的矢量，既有大小又有方向，所以在求解時，我們要對其大小和方向分別求解。
一、b的求解
1.大小
由圖得：|b| = cosΘ' |Vrot⊥| ( Θ'為b和Vrot⊥的夾角 ）
又因為|Vrot⊥| = |V⊥| ，Θ'=PI - Θ
所以：|b| = cos（PI - Θ) |V⊥| = （- cosΘ）|V⊥|

2.方向
由b的方向與V⊥方向相反可得
b的單位方向向量為：-V⊥ / |V⊥|
綜上可得：b= (-V⊥ / |V⊥| ) |b| = cosΘV⊥

二、a的求解
1.大小
|a| = sinΘ' |Vrot⊥| = sinΘ' |V⊥| = sin(PI-Θ) |V⊥| = sinΘ|V⊥|
= sinΘsinΘ''|V| (Θ''為V和k的夾角）
= sinΘsinΘ''|V| |K| (因為 |K|=1，所以可直接加上）
其中sinΘ''|V| |K| = |K x V|
所以：|a| = sinΘ |K x V|

2.方向
由叉乘方向可得a的單位方向向量為
K x V / |K x V|
綜上可得：a=(K x V / |K x V|) sinΘ |K x V| = sinΘ K x V