轉自：https://blog.csdn.net/heyijia0327/article/details/39270597
本文主要介紹LQR的直觀推導，說明LQR目標函數J選擇的直觀含義以及簡單介紹矩陣Q,R的選取，最后總結LQR控制器的設計步奏，並將其應用在一個簡單的倒立擺例子上。
假設有一個線性系統能用狀態向量的形式表示成：
( 1 )
其中 
，初始條件是
. 並且假設這個系統的所有狀態變量都是可測量到的。
在介紹LQR前，先簡單回顧一下現代控制理論中最基本的控制器--全狀態反饋控制。
全狀態反饋控制系統圖形如下：
我們要設計一個狀態反饋控制器
使得閉環系統能夠滿足我們期望的性能。我們把這種控制代入之前的系統狀態方程得到
( 2 )
對於(1)式的開環系統，由現代控制理論我們知道開環傳遞函數的極點就是系統矩陣A的特征值。
(傳遞函數的分母是|s| -A|，|·|表示行列式)
現在變成了(2)的閉環形式，狀態變換矩陣A變成了(A-BK)。因此通過配置反饋矩陣K，可以使得閉環系統的極點達到我們期望的狀態。注意，這種控制器的設計與輸出矩陣C,D沒有關系。
那么，什么樣的極點會使得系統性能很棒呢？並且，當系統變量很多的時候，即使設計好了極點，矩陣K也不好計算。
於是，LQR為我們設計最優控制器提供了一種思路。
在設計LQR控制器前，我們得設計一個能量函數，最優的控制軌跡應該使得該能量函數最小。一般選取如下形式的能量函數。
其中Q是你自己設計的半正定矩陣，R為正定矩陣。
可是，為什么能量函數(或稱系統的目標函數)得設計成這個樣子呢？
首先假設狀態向量x(t)是1維的，那么
其實就是一個平方項 Qx^2 >= 0，
同理. 能量函數J要最小，那么狀態向量x(t)，u(t)都得小。J最小，那肯定是個有界的函數，我們能推斷當t趨於無窮時，狀態向量x(t)將趨於0，這也保證了閉環系統的穩定性。那輸入u(t)要小是什么意思呢？它意味着我們用最小的控制代價得到最優的控制。譬如控制電機，輸入PWM小，將節省能量。
再來看看矩陣Q，R的選取，一般來說，Q值選得大意味着，要使得J小，那x(t)需要更小，也就是意味着閉環系統的矩陣(A-BK)的特征值處於S平面左邊更遠的地方，這樣狀態x(t)就以更快的速度衰減到0。另一方面，大的R表示更加關注輸入變量u(t),u(t)的減小，意味着狀態衰減將變慢。同時，Q為半正定矩陣意味着他的特征值非負，R為正定矩陣意味着它的特征值為正數。如果你選擇Q,R都是對角矩陣的話，那么Q的對角元素為正數，允許出現幾個0.R的對角元素只能是正數。
注意LQR調節器是將狀態調節到0，這與軌跡跟蹤不同，軌跡跟蹤是使得系統誤差為0。
軌跡跟蹤實現方案線性二次型控制器（LQR）——軌跡跟蹤器
知道了背景后，那如何設計反饋矩陣K使得能量函數J最小呢？
很多地方都是從最大值原理，Hamilton函數推導出來。這里用另外一種更容易接受的方式推導。
將u = -Kx 代入之前的能量函數得到：
( 3 )
為了找到K,我們先不防假設存在一個常量矩陣P使得：
(4)
代入(3)式得：
(5)
注意，我們已經假設閉環系統是穩定的，也就是t趨於無窮時，x(t)趨於0.
現在把(4)式左邊的微分展開，並把狀態變量x的微分用(2)式替代得到：
這個式子要始終成立的話，括號里的項必須恆等於0.
這是一個關於K的二次型等式，當然這個二次型是我們不願看到的，因為計算復雜。現在只要這個等式成立，我們何必不選擇K使得兩個二次項正好約掉了呢？這樣既符合了要求，又簡化了計算。
取 
代入上式得：
(6)
K的二次項沒有了，可K的取值和P有關，而P是我們假設的一個量，P只要使得的(6)式成立就行了。而(6)式在現代控制理論中極其重要，它就是有名的Riccati 方程。
現在回過頭總結下LQR控制器是怎么計算反饋矩陣K的：
1.選擇參數矩陣Q,R
2.求解Riccati 方程得到矩陣P
3.計算
再看看LQR的結構圖：
關於它的應用呢，比較典型的就是倒立擺控制器的設計。
倒立擺的狀態變量為
,其中p(t)是小車位置，θ是倒立擺的角度。系統結構如程序所示：
A = [0 1 0 0
0 0 -1 0
0 0 0 1
0 0 9 0]; B = [0;0.1;0;-0.1]; C = [0 0 1 0]; %觀測角度 D = 0; Q = [1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 10 0
0 0 0 10 ]; R = 0.1; %由上面這個系統，可以計算出K K = lqr(A,B,Q,R); Ac = A - B*K; %對系統進行模擬 x0 = [0.1;0;0.1;0]; %初始狀態 t = 0:0.05:20; u = zeros(size(t)); [y,x]=lsim(Ac,B,C,D,u,t,x0); plot(t,y);
最后看到角度回到0，即平衡位置，控制器起到了作用，你可以選擇不同的Q,R進行對比。
文章為總結性文章，有紕漏，請指出，謝謝。
reference：
1.F.L. Lewis .<< Linear Quadratic Regulator (LQR) State Feedback Design >>
2.http://ctms.engin.umich.edu/CTMS/index.php?example=InvertedPendulum§ion=ControlStateSpace
3.http://ctms.engin.umich.edu/CTMS/index.php?example=InvertedPendulum§ion=ControlStateSpace