python+numpy中矩陣的逆和偽逆的區別

定義：(百度百科)

對於矩陣A，如果存在一個矩陣B，使得AB=BA=E，其中E為與A,B同維數的單位陣，就稱A為可逆矩陣（或者稱A可逆），並稱B是A的逆矩陣，簡稱逆陣。（此時的逆稱為凱利逆）

矩陣A可逆的充分必要條件是|A|≠0。

偽逆矩陣是逆矩陣的廣義形式。由於奇異矩陣或非方陣的矩陣不存在逆矩陣，但可以用函數pinv(A)求其偽逆矩陣。基本語法為X=pinv(A),X=pinv(A,tol),其中tol為誤差,pinv為pseudo-inverse的縮寫：max(size(A))*norm(A)*eps。函數返回一個與A的轉置矩陣A’ 同型的矩陣X，並且滿足：AXA=A,XAX=X.此時，稱矩陣X為矩陣A的偽逆，也稱為廣義逆矩陣。pinv(A)具有inv(A)的部分特性，但不與inv(A)完全等同。

如果A為非奇異方陣，pinv(A)=inv(A)，但卻會耗費大量的計算時間，相比較而言，inv(A)花費更少的時間。

代碼如下：

1.矩陣求逆

import numpy as np

a  = np.array([[1, 2], [3, 4]])  # 初始化一個非奇異矩陣(數組)
print(np.linalg.inv(a))  # 對應於MATLAB中 inv() 函數

# 矩陣對象可以通過 .I 求逆,但必須先使用matirx轉化
A = np.matrix(a)
print(A.I)

2.矩陣求偽逆

import numpy as np

# 定義一個奇異陣 A
A = np.zeros((4, 4))
A[0, -1] = 1
A[-1, 0] = -1
A = np.matrix(A)
print(A)
# print(A.I) 將報錯，矩陣 A 為奇異矩陣，不可逆
print(np.linalg.pinv(a))   # 求矩陣 A 的偽逆（廣義逆矩陣），對應於MATLAB中 pinv() 函數

這就是矩陣的逆和偽逆的區別

截至2020/10/4，matrix函數還可以使用，但已經過時，具體可查閱相關文檔。