如果學過《線性代數》，那么你應該對矩陣乘法計算規則有所了解，但為什么要這樣計算呢？矩陣乘法有什么用呢？下面以理解矩陣乘法為目的來介紹。
1 高斯消元法
首先，矩陣的本質其實就是線性方程組，而解線性方程組的通用方法就是高斯消元法。
1.1 高斯消元法的思路
給出一個簡單的例子，需要求解以下線性方程組：
從幾何上來講，線性方程都是直線，求解方程組就是找到兩個直線的交點：
最終的目標就是把方程組化成這個樣子：
要達到這個目標，高斯消元法的思路是，先用第一行方程式消除后面方程式的某一未知數：
同樣，用第二行把這些消了：
反過來，用第三行把這些給消了：
反過來，用第二行把這些給消了：
最后，達到目標：
接下來讓我們用該思路求解該方程組：
完整的解題過程如下：
至此，解出答案：
1.2 凱萊的高斯消元法
英國數學家阿瑟·凱萊（1821－1895）對於看似簡單的高斯消元法進行了研究，得出了驚人的結果。他當時研究矩陣的動機出於對線性方程組計算的簡化。
對於一個這樣的方程組：
在固定未知數的順序（x 出現在第一個位置，y 出現在第二個位置，常數在等號右邊）后，且保證每個未知數都出現(不出現時，系數為0)，方程組就只需要系數來表示了。該方程組可以簡寫為如下數塊：
之前說過，高斯消元法的目標是：
因此我們的目標就是要把數塊變成下面這個樣子：
對應之前的高斯消元法：
得到結果：
正如你看到的，解起來並不復雜，但是要將過程描述清楚卻很繁瑣，這很不數學。能不能更優雅的展現這個過程呢？
1.3 數塊乘法
數學家發明了一種數塊的乘法，簡潔地進行高斯消元法。
1) 單行乘法
對於：
用數塊乘法表示為：
2) 多行乘法
對於：
它表達了兩個過程：
- 第一行不變：r1' = r1
- 第二行改變：r2' = r2 - 3r1
用數塊乘法表示為：
即按照單行乘法的規則，只是第一行運算的結果放在第一行，第二行運算的結果放在第二行：
有了這個運算規則后，整個高斯消元法就可以表示如下:
1.4 矩陣的定義
阿瑟·凱萊在1858年的《矩陣理論紀要》的論文中，給這個數塊以合法的數學地位，取了一個名字：矩陣。
由 m × n 個數 aij ( i = 1,2,...,m ; j = 1,2,...,n ) 排成的 m 行 n 列的數表稱為 m 行 n 列矩陣，簡稱 m × n 矩陣。為表示它是一個整體，總是加一個括弧，並用大寫黑體字母表示它，記做：
這 m × n 個數稱為矩陣 A 的元素。
2 矩陣是一個映射函數
更好的理解方式是把矩陣看做函數，或者說是一種映射。例如：
矩陣 A 將一個 n 維向量 x 映射為 m 維的向量 y。
為了更好的理解這種映射，下面給出具體的例子。研究線性映射，最重要的是搞清楚當前處在哪個基下。我們先來看看：
x、y 的基默認為各自向量空間下的自然基，其自然基為（即 R2 下的自然基）：
所以：
若：
其中 c1，c2 為 A 的列向量。
根據矩陣乘法規則有：
則 Ax 相當於在 A 空間中，以 c1，c2 為基，坐標為 ( x1，x2 ) 的向量。
假設：
則有：
空間 V 通過 A 映射到 W。整體來說，就是基改變，導致向量的坐標發生變化。
可以把 A 比喻成穿越時空的傳送門，只是這是一個比較死板的傳送門，它的傳送規則是，根據你進入傳送門的時空坐標，把你送到另外一個時空對應的位置。
我的理解是，x 本來在以矩陣 A 的列向量為基底的空間中，現在 A 是用空間 W 中的自然基底表示的，x 通過左乘 A 轉換到在當前空間 W 所在坐標 y。
下一節：特征值與特征向量
主要參考：從高斯消元法到矩陣乘法、如何理解矩陣乘法？