大多數人在高中，或者大學低年級，都上過一門課《線性代數》。這門課其實是教矩陣。
剛學的時候，還蠻簡單的，矩陣加法就是相同位置的數字加一下。
矩陣減法也類似。
矩陣乘以一個常數，就是所有位置都乘以這個數。
但是，等到矩陣乘以矩陣的時候，一切就不一樣了。
這個結果是怎么算出來的？
教科書告訴你，計算規則是，第一個矩陣第一行的每個數字（2和1），各自乘以第二個矩陣第一列對應位置的數字（1和1），然后將乘積相加（ 2 x 1 + 1 x 1），得到結果矩陣左上角的那個值3。
也就是說，結果矩陣第m行與第n列交叉位置的那個值，等於第一個矩陣第m行與第二個矩陣第n列，對應位置的每個值的乘積之和。
怎么會有這么奇怪的規則？
我一直沒理解這個規則的含義，導致《線性代數》這門課就沒學懂。研究生時發現，線性代數是向量計算的基礎，很多重要的數學模型都要用到向量計算，所以我做不了復雜模型。這一直讓我有點傷心。
前些日子，受到一篇文章的啟發，我終於想通了，矩陣乘法到底是什么東西。關鍵就是一句話，矩陣的本質就是線性方程式，兩者是一一對應關系。如果從線性方程式的角度，理解矩陣乘法就毫無難度。
下面是一組線性方程式。
矩陣的最初目的，只是為線性方程組提供一個簡寫形式。
老實說，從上面這種寫法，已經能看出矩陣乘法的規則了：系數矩陣第一行的2和1，各自與 x 和 y 的乘積之和，等於3。不過，這不算嚴格的證明，只是線性方程式轉為矩陣的書寫規則。
下面才是嚴格的證明。有三組未知數 x、y 和 t，其中 x 和 y 的關系如下。
x 和 t 的關系如下。
有了這兩組方程式，就可以求 y 和 t 的關系。從矩陣來看，很顯然，只要把第二個矩陣代入第一個矩陣即可。
從方程式來看，也可以把第二個方程組代入第一個方程組。
上面的方程組可以整理成下面的形式。
最后那個矩陣等式，與前面的矩陣等式一對照，就會得到下面的關系。
矩陣乘法的計算規則，從而得到證明。
矩陣乘法的本質是什么？
作者：知乎用戶
鏈接：https://www.zhihu.com/question/21351965/answer/31050145
來源：知乎
著作權歸作者所有。商業轉載請聯系作者獲得授權，非商業轉載請注明出處。
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本題目前下面的解釋都是線性代數教材上的各種定義，但都太過復雜了。我嘗試寫一個淺顯的解釋：
小明今天要做飯，消耗2斤肉，1斤蔬菜。肉每斤20元，蔬菜每斤5元，則一共需多少花費？
這個問題的答案很簡單：
我們用向量相乘的方法寫出來：
小明有一天成為了餐廳大廚，小紅做掌櫃兼管算賬。我們假設物價不變。小紅發現，如果今天買10斤肉花了A元，明天買20斤肉就得花2A元。如果買一斤肉要花C元，買1斤菜要花D元，那么買一斤肉和一斤菜就要花(C+D)元。每天小明匯報今日的材料消耗之后，小紅便會將材料消耗轉為需要花的錢數。如果材料消耗翻倍，花的錢數也翻倍。另外，如果去不同的菜市場，也會得到不同的花錢數量。
小明每月送來一張長列表，里面是每日的材料消耗；而經過小紅的處理，這張列表會轉為每日，在不同的菜市場購買這些材料的花費。材料消耗翻倍，花費也翻倍。我們管這種從材料列表轉為開銷表的過程，就叫做一個線性映射。這也即是矩陣乘法的意義。
最后補充一點。線性代數的引入方式因教材不同而不同。從代數學自身的體系來講，可能從線性空間引入是相對完備的；但是從一般我們學習知識的理解順序來講，從線性方程組引入最為合適。因為只要還記得雞兔同籠，就很容易理解線性方程組，從而推廣到矩陣，然后是線性變換，線性空間。按這樣順序講授的教材推薦華章數學譯叢的：線性代數.原書第8版.Leon.S.J.著.張文博譯.機械工業出版社.2010