非線性系統理論
非線性系統的一般概念
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典型非線性
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死區
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飽和
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間隙
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摩擦
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繼電特性
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繼電特性使得系統產生振盪，死區使得系統存在穩態誤差，飽和使得系統的開環增益在飽和區下降，間隙降低系統的跟蹤精度，摩擦造成系統低速運動的不平滑性。
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非線性系統的運動特點：穩定性；運動形式；自激振盪；頻率響應
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穩定性
非線性系統穩定性不僅與系統結構參數有關，而且與輸入信號和初始條件有關(這是線性系統穩定性不要考慮的)。
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運動形式
線性系統在任何初始偏移下的時間響應曲線都具有相同的形式，非線性系統則不然。當初始偏移變化以后，其時間響應曲線可以發生很大變化，可能由原來的振盪收斂形式變為非周期形式，甚至出現發散的情況。
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自激振盪
對於非線性系統，由於振盪的振幅將受到非線性特性的限制，即使沒有受到外界作用，也可能產生一定頻率和振幅的穩態振盪。有時要避免，有時要利用。
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頻率響應
又稱正弦穩態響應。對於非線性系統，輸入信號是正弦信號時，其穩態輸出通常是含有高次諧波分量的非正弦周期函數。
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非線性系統所研究的問題及方法
主要研究自激振盪問題和利用非線性特性改善系統性能。
分析方法有：
相平面法——推廣時域分析方法的一種圖解分析法；
描述函數法——本質一次諧波近似法；
逆系統法——運用內環非線性反饋控制，構成偽線性系統，設計外環控制網絡。
相平面基礎
- 相平面、相點、相軌跡
- 相軌跡的繪制方法
- 相軌跡的特點
- 線性系統的相軌跡
- 由相軌跡求某個過程所用時間
非線性系統的相平面分析
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非線性系統的相軌跡
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極限環
若非線性系統的相軌跡在相平面圖上表現為一個孤立的封閉曲線，所有附近的相軌跡都漸進地趨向或離開整個封閉的曲線，這個封閉曲線被稱為極限環。
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相軌跡的跳躍
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開關線變化對運動性能的影響
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有外作用時相軌跡的研究
描述函數法基礎
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諧波線性化
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描述函數的定義
描述函數\(N\)定義為非線性輸出的基波分量與輸入正弦量的復數比
\(N=\frac{Y_1\ang\phi_1}{X\ang0}\)
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典型非線性特性的描述函數
- 計算在\(x=Xcos(\omega t)\)作用下的輸出波形\(y(t)\)
- 計算\(y(t)\)的Fourier級數，找到\(A_1\)和\(B_1\) 基波分量\(y_1(t)=A_1cos(\omega t)+B_1sin(\omega t)\) 寫成形式\(Y_1cos(\omega t+\phi_1)\)
- 復數\(N=\frac{Y_1\ang \phi_1}{X\ang0}\)
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描述函數法的物理意義
線性環節的頻率特性函數與輸入信號振幅無關，
非線性環節的描述函數是輸入信號幅值的函數\(N(A)\)。
非線性系統的描述函數法分析
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可以證明，描述函數法是非線性特性在均方差意義下的最優逼近。
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描述函數法的應用前提 (注意!!!!)——或者說描述函數法合理性的簡單論證
設非線性系統經過變換和歸化，可表示為非線性部分\(N\)和線性部分G相串聯的典型反饋結構。
描述函數法基於這樣的假設，即當系統處於自激振盪時，非線性部分和線性部分的輸入、輸出均為同頻率的正弦信號。在這種條件下，非線性部分的特性可用描述函數表示，線性部分的特性可用頻率特性表示，從而建立起非線性系統自振時的理論模型。
自振是由非線性系統內部自發的持續振盪，和外作用無關。假設自振時非線性部分的輸入端為正弦信號\(x(t)=Xsin(\omega t)\) ，其輸出除基波分量外，還有高次諧波分量。一般，高次諧波的振幅較基波振幅小，而在通過線性部分之后，由於線性部分的低通濾波效應，將使高次諧波分量進一步衰減，致使線性部分的輸出可以認為只是基波分量的響應。
綜上所述，應用描述函數法分析非線性系統的前提是：
- 非線性特性具有奇對稱性；(保證輸出不含直流分量)
- 非線性系統可以歸化為圖9-5的典型結構；
- 非線性部分輸出\(y(t)\)中的基波分量最強； (這樣的話近似就顯得合理)
- 線性部分\(G(j\omega)\)的低通濾波效應較好。
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周期運動解與自激振盪
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穩定性分析
定義一個非線性系統是穩定的：本來在平衡位置，在受到擾動后，能夠恢復原來的平衡位置
定義一個非線性系統是不穩定的：本來在平衡位置，受到擾動后，其輸出將偏離，不能復原原來的平衡位置
介於穩定與不穩定之間的狀態就是臨界狀態，周期運動解就是一種臨界狀態。
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結構規化問題——即化簡為典型結構的方法