采樣系統理論/計算機控制系統
基本概念
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采樣控制系統(即脈沖控制系統)-信號是脈沖序列形式
- 保持過程：把脈沖序列轉變為連續信號的過程。保持器：實現保持的裝置。
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數字控制系統(即計算機控制系統)-信號是數字序列形式
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離散系統的特點
數字控制系統的特點:具有控制精度高，控制速度塊及性能價格比高等特點，很好的通用性
信號的采樣與保持
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采樣過程
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采樣過程的數學描述
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Shannon采樣定理
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信號保持
保持器的數學作用：解決各離散采樣點之間的插值問題
零階保持器的傳函為$$G_h(s)=\frac{1-e^{Ts}}{s}$$ ，其中\(T\)是保持時間
零階保持器是一種按常值外推的保持器，它把前一采樣時刻\(nT\)的采樣值一直保持到下一個采樣時刻\((n+1)T\)到來之前。零階采樣器的采樣信號是階梯信號。取階梯信號的中點連接起來，則可以得到與連續信號形狀相同但時間滯后\(T/2\)的響應\(\bold{e}(t-T/2)\)。(當然是在\(T\)足夠小的前提下)
離散系統的數學模型
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描寫離散系統的數學形式——差分方程
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線性離散系統差分方程及其解法
- 經典法：求齊次方程的通解和非齊次方程的特解
- 迭代法：直接遞推
- 生成函數法(z變換法)：先z變換，求出那個生成函數后，再反z變換
↓求脈沖傳遞函數(重點)↓
對一個連續函數做Z變換是什么意思？
我的理解是做代換 \(t=nT\),然后對那個離散序列做z變換。
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脈沖傳遞函數
\(G(z)=\mathscr{Z}[G(s)]\) （\(\mathscr{Z}\)是花體Z）
\(G(z)=Z[g^*(t)]=Z[g(t)]=Z[G^*(s)]=Z[G(s)]\)
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開環系統脈沖傳遞函數
串聯環節之間有采樣開關的情況：有理想采樣器隔開的n個線性連續環節串聯的脈沖傳函等於n個環節z變換的乘積。
串聯環節之間沒有采樣開關的情況：沒有理想采樣器隔開的n個線性連續環節串聯的脈沖函數等於n個環節乘積后的z變換
理解的策略:采樣開關分隔成為幾段，段內直接\(G_1(s)G_2(s)...G_n(s)\),然后做Z變換，每段都是z的表達式，這些表達式再乘起來。
有零階保持器的開環系統脈沖傳遞函數：此時，開環系統脈沖傳函為
\(G(z)=\frac{C(z)}{R(z)}=(1-z^{-1})\mathscr{Z}[\frac{G_p(s)}{s}]\)
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閉環系統脈沖傳遞函數
求閉環系統脈沖傳函，一般先設第一個采樣開關兩側的信號為\(E(z)\),然后根據信號在前向通路及回路中的流動形式，列寫出一系列方程，解得閉環系統脈沖傳函。
↑求脈沖傳遞函數(重點)↑
離散系統的穩定性與穩態誤差
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離散系統穩定的條件
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時域中離散系統穩定的充要條件
當且僅當描述離散系統的差分方程所有特征根的模\(|a_i|<1(i=1,2,...,n)\),穩定
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z域中離散系統穩定的充要條件
當且僅當所有特征根的模均小於1，穩定
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離散系統的穩定性判據
\(\omega\)變換與勞斯判據。如果用莫比烏斯變換\(z=\frac{\omega+1}{\omega-1}\)代入離散系統的閉環系統方程，並整理得到關於\(\omega\)的方程。於是可以利用勞斯判據判斷離散系統的穩定性。
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離散系統的穩態誤差
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終值定理法
即，數學上有，\(a_{ss}=\lim\limits_{z\rightarrow1}(z-1)A(z)\) 當然這要求序列a（和函數A的信息量一樣）有較好的性質
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靜態誤差系數法
\(k_p=\lim\limits_{z\rightarrow1}G(z)\)
\(k_v=\lim\limits_{z\rightarrow1}(z-1)G(z)\)
\(k_a=\lim\limits_{z\rightarrow1}(z-1)^2G(z)\)
\(1(t)\) \(t\) \(\frac{1}{2}t^2\) 0型 \(\frac{1}{1+k_p}\) \(\infty\) \(\infty\) 1型 0 \(\frac{T}{k_v}\) \(\infty\) 2型 0 0 \(\frac{T^2}{k_a}\)
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離散系統的動態性能分析
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離散系統的時間響應
（利用冪級數展開法）先求出部分點值，這些點值擬合曲線，然后計算時域里的那些指標
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采樣器和保持器對系統性能的影響
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閉環極點與動態響應的關系
離散系統的數字校正（拓展部分）
線性離散系統的設計方法分為模擬化設計和離散化設計兩種。
1.模擬化設計是先把系統的數字部分等效為連續環節，然后按照連續系統理論設計校正裝置，最后將校正裝置數字化。
2.離散化設計法又稱直接數字設計法，即把系統按離散化進行分析，求出系統的脈沖傳函，然后按離散系統理論設計數字校正裝置（又稱數字控制器）
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最少拍系統設計
離散系統的數字校正問題即確定數字控制器\(D(z)\)。具體方法：由離散系統性能指標確定閉環脈沖傳函或誤差傳函，然后確定數字控制器的脈沖傳函，並加以實現。
最少拍系統：一個采樣周期為一拍，最少拍系統是指在典型輸入作用下，能以有限拍結束響應過程，且在采樣時刻上無穩態誤差的離散系統。最少拍系統的設計是針對典型輸入作用進行的。
最少拍系統的設計原則：若系統廣義被控對象\(G(z)\)無延遲，且在z平面單位圓上以及單位圓外無零極點，要求選擇閉環脈沖傳函，使系統在典型輸入作用下，經過最少采樣周期后能使輸出序列在各采樣時刻的穩態誤差為零，達到完全跟蹤的目的，從而確定所需要的數字控制器的脈沖傳函\(D(z)\)。
在各種典型輸入作用下，由最少拍系統的輸出響應序列可得以下結論：
- 快速性：按單位斜坡輸入設計的最少拍系統，在各種典型輸入作用下，動態過程均為兩拍。
- 准確性：單位階躍和單位斜坡輸入的最少拍系統的穩態誤差均為0，但對單位加速度輸入存在的穩態誤差為\(T\)。
- 動態性：系統對單位斜坡輸入的動態響應性能較好，對單位階躍響應性能較差。
- 平穩性：均存在波紋，不實用。
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無波紋最少拍系統設計
無波紋最少拍系統的設計要求：在某種典型輸入作用下設計的系統，其輸出響應經過盡可能少的采樣周期后，不僅在采樣時刻上輸出可以完全跟蹤輸入，而且在非采樣時刻不存在波紋。
無波紋輸出要求在有限個采樣周期后，零階保持器的輸出達到相對穩定。要滿足這一要求，除了采用前面介紹的最小拍系統設計方法外，還需要對被控對象的傳函和閉環脈沖傳函提出相應的要求。
無波紋最少拍系統\(\Rightarrow\)被控對象傳函\(G_p(s)\)中，至少應包含\((q-1)\)個積分環節。
無波紋最少拍系統的附加條件：\(\Phi(z)\)的零點應抵消\(G(z)\)的全部零點，即應有：\(\Phi(z)=P(z)M(z)\)，式中，\(M(z)\)為待定\(z^{-1}\)多項式。