note 2020-08-05搬運 下面的內容來自(我的CSDN博客)[https://blog.csdn.net/weixin_45183579/article/details/105201314]
紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行。多看例題，多做習題，才能理解這些內容。
搬運課本😭
線性系統的校正方法
引言
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系統的性能指標
在控制系統設計中，如果性能指標以頻域特征量給出時，一般采用頻率法校正；
如果性能指標以時域特征量給出時，一般采用根軌跡法校正。這兩種指標之間，存在着互換關系。
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校正方式
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串聯校正
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反饋校正
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復合控制校正
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系統校正裝置的設計方法
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試探法
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期望特性法
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校正裝置
- 校正裝置的控制規律
- P控制規律：比例元件在信號變換時，只改變信號的幅值而不影響其相位。因此在串聯校正中，采用比例校正元件可以提高系統的開環增益，減小穩態誤差，但會降低穩定性，因此在系統校正設計中很少單獨使用。
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PD控制規律：理想傳函為\(K(1+\tau s)\) 。在串聯校正時，可使系統增加一個\(-\frac{1}{\tau}\)的開環零點，提高系統的相角裕度，並有助於動態性能的改善。
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I控制規律：積分控制可以提高系統的型別(無差度)，有利於穩態性能的提高。但積分控制使系統增加了一個位於原點的極點，於系統的穩定性不利。
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PI控制規律：傳函為\(K(1+\frac{1}{Ts})=K\frac{1+Ts}{Ts}\)。進行串聯校正時，相當於在系統中增加了一個開環極點和開環零點。位於原點的極點可提高系統的穩態性能，而增加的零點則可緩和極點對系統穩定性產生的不利影響。只要\(T\)足夠大，PI控制對系統的不利影響可大為減弱。
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PID控制規律：傳函為\(K(1+\tau s+\frac{1}{Ts})=\frac{K}{T}\frac{(T\tau s^2+Ts+1)}{s}\) 。在工業控制系統中，廣泛使用PID調節器。PID各部分參數的選擇，在系統現場調試中最后確定，應使 I 部分發生在系統低頻段，以提高系統穩態性能，而使D部分在中、高頻段起作用，來改善系統的動態性能。
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- 無源和有源校正裝置
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系統校正裝置的分析法設計
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頻率響應法校正設計 (！！重點！！)
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串聯校正方式的頻率法
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串聯超前校正：適用於系統響應慢，相對穩定性差，但增益不太低的系統。可以提供超前角以增加相位裕度，或消去對象最接近原點的實極點以提高響應速度。
校正環節的傳函 $$a\frac{1+aTs}{1+Ts},(a>1)$$
設計步驟如下：
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根據穩態誤差要求，確定開環增益K；
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利用已確定的開環增益，計算待校正系統的相角裕度；
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根據截止頻率\(\omega_c^{''}\)的要求，計算超前網絡參數\(a\)和\(T\)，選擇最大超前角頻率等於要求的系統截止頻率，由\(-L^{'}(\omega_c^{''}=10lg(a)\)確定\(a\)，然后由\(T=\frac{1}{\omega_m\sqrt{a}}\)確定\(T\)值；
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驗算已校正系統的相角裕度\(\gamma^{''}，\gamma^{''}(\omega_c^{''})=\varphi_m+\gamma(\omega^{''})\)，當驗算結果\(\gamma^{''}\)不滿足指標要求時，需重選\(\omega_m\)值，一般使\(\omega_m\)（等於\(\omega_c^{''}\)）值增大，然后重復以上計算步驟
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串聯滯后校正：適用於穩態誤差大，但響應不慢的系統。
校正環節的傳函 \(\frac{1+bTs}{1+Ts},(b<1)\)
設計步驟如下：
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根據穩態誤差要求，確定開環增益\(K\);
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利用已確定的開環增益，畫出待校正系統的對數頻率特性，確定待校正系統的截止頻率\(\omega_c^{'}\)、相角裕度\(\gamma\)和幅值裕度\(h(dB)\);
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選擇不同的\(\omega_c^{''}\)，計算或查出不同的\(\gamma\)值，在bode plot上繪制\(\gamma(\omega_c{''})\)
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根據相角裕度\(\gamma^{''}\)的要求，選擇已校正系統的截止頻率\(\omega_c^{''}\)，\(\omega_c^{''}\)滿足
\[\gamma^{''}(\omega_c^{''})=\varphi_c(\omega_c^{''})+\gamma(\omega_c^{''})$$,一般取**$\varphi_c(\omega_c^{''})=-6°\sim14°$**； 5. 根據關系式 $20lg(b)+L^{'}(\omega_c^{''})=0,\frac{1}{bT}=(0.1\sim0.25)\omega_c^{''}$ 確定校正網絡參數$b$和$T$; 6. 檢查校正后系統的各項指標是否符合要求。 \] -
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串聯滯后-超前校正：兼有上面兩種校正的優點，即已校正系統響應速度較快，超調量較小，抑制高頻噪聲的性能也比較好。當待校正系統不穩定，且要求校正后系統的響應速度、相角裕度和穩態精度較高時，采用這種校正。
校正環節的傳函 \(\frac{(1+T_1s)(1+T_2s)}{(1+aT_1s)(1+\frac{T_2}{a}s)}\) \((a>1)\)
設計步驟如下：
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根據穩態誤差要求，確定開環增益K；
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繪制待校正系統的對數幅頻特性，求出待校正系統的截止頻率\(\omega_c^{'}\)、相角裕度\(\gamma\)和幅值裕度\(h(dB)\);
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在待校正系統對數幅頻特性上，選擇頻率從\(-20dB/dec\)變為\(-40dB/dec\)的交接頻率作為校正網絡超前部分的交接頻率\(\omega_b\);
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根據響應速度的要求，選擇系統的截止頻率\(\omega_c^{''}\),並由式
\[-20lg(a)+L{'(\omega_c{''})+20T_b\omega_c^{''}}=0 \]確定\(a\);
- 根據相角裕度要求，估算校正網絡滯后部分的交接頻率\(\omega_n\)；
- 校驗已校正系統的各項性能指標
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反饋校正方式的頻率法：基本原理是，用反饋校正裝置包圍待校正系統中對動態性能改善有重大妨礙作用的某些環節，形成一個局部反饋回路(內回路)，在局部反饋回路的開環幅值遠大於1的條件下，局部反饋回路的特性主要取決於反饋校正裝置，而與被包圍部分無關。
特點如下：削弱非線性特性的影響；減小系統的時間常數；降低系統對參數變化的敏感度。
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根軌跡法校正設計
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系統校正裝置的綜合法設計
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串聯校正方式的綜合法設計
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反饋校正方式的綜合法設計
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工程設計方法
復合控制校正
串聯和反饋校正方式，一般只適用於反饋系統的校正。如果系統存在強擾動，特別是低頻強擾動，或者系統的穩態精度和動態性能要求都很高，則宜使用復合控制校正。在高精度的控制系統如人造衛星控制系統中，復合控制校正得到了廣泛應用。
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按擾動補償的復合控制校正
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按輸入補償的復合控制校正
下面是王衛江《自動控制原理（第2版）》中的目錄
第7章 現代控制理論基礎
7.1狀態空間法的基本概念
\(\hat{x}=Ax+Bu\)
\(y=Cx+Du\)
A:n×n,系統矩陣
B:n×r,系統輸入矩陣
C:m×n,系統輸出矩陣
D:m×r，前饋矩陣
7.2線性定常系統狀態空間方程(下面簡稱SSE)的建立
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根據系統工作原理建立SSE
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根據微分方程建立SSE
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根據傳遞函數建立SSE
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由SSE求傳函
微分方程，傳遞函數，SSE之間可以做相互轉化（只考慮標准型的話有現成的公式）
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線性系統的代數等價性
代數等價：給定一定常線性系統\(\Sigma(A\ B\ C\ D)\)，如果存在一非奇異線性變換\(\bar{x}=Px\)，其中\(P\)是非奇異矩陣，則\(x=P^{-1}\bar{x}\)經過狀態變換后，系統可以寫成
\(\dot{\bar{x}}=P\dot{x}=P(Ax+Bu)=PAP^{-1}\bar{x}+PBu\)
\(y=Cx+Du=CP^{-1}\bar{x}+Du\)
其中，\(A=PAP^{-1};B=PB;C=CP^{-1};D=D\)
則稱這兩個系統是代數等價的
7.3線性定常系統的運動分析
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線性定常系統的解
系統響應=零輸入響應+零狀態響應
\(x(t)=\phi(t-t_0)+\int_{t_0}^t\phi(t-\tau)Bu(\tau)d\tau\) \(\phi(t)=e^{At}\) 是系統的狀態轉移矩陣
\(x(t)=L^{-1}\{\ \Phi(s)x(0)+\Phi(s)BU(s)\ \}\) \(\Phi(s)=(sI-A)^{-1}\)是系統的預解矩陣
\(y(t)=C\phi(t-t_0)x(t_0)+\int_{t_0}^t[Ce^{A(t-\tau)}B+D\delta(\tau)]u(\tau)d\tau\)
\(y(t)=L^{-1}\{C\Phi(s)x(0)+[C\Phi(s)B+Ds]U(s)\}\)
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狀態轉移矩陣的性質（或者說矩陣指數函數的性質）
計算方法
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A為對角陣時矩陣指數函數的求取
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A為Jordan矩陣時矩陣指數的求取
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\(\phi(t)=L^{-1}\Phi(s)=L^{-1}(sI-A)^{-1}\)
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利用Caley-Hamilton定理求取
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7.4線性系統的能控性和能觀測性
//卡爾曼首先提出，是最優控制和最優估計的基礎
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7.4.1線性系統的能控性和能控性判據
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能控性定義 直觀上，狀態是否都受輸入的控制
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能控性判據
設n階線性定常系統的狀態方程為\(\bold{\dot{x}}=\bold{A}x+\bold{B}u\)
系統完全能控\(\Longleftrightarrow\)\(rank[\bold{Q_c}]=rank[\bold{B}\ \bold{AB}\ ...\ \bold{A^{n-1}B}]=n\)
其中\(Q_c\)是系統能控性矩陣
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7.4.2線性系統的能觀測性和能觀測性判據
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能觀測性定義 直觀上，輸出是否反映系統的狀態
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能觀測性判據
對於線性定常系統
\(\dot{x}=Ax+Bu\)
\(y=Cx+Du\)
系統完全能觀測\(\Leftrightarrow\)\(rank[Q_o]=rank\left[ \begin{matrix} C\\ CA\\ \vdots\\ CA^{n-1} \end{matrix} \right]=n\)
其中\(Q_o\)是系統能觀測性矩陣
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7.4.3對偶原理
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線性系統的對偶關系
設有2個n階線性定常系統\(S_1\)和\(S_2\)，其狀態空間表達式分別為
\(S_1: \dot{x}=Ax+Bu\)
\(y=Cx\)
\(S_2:\dot{z}=A^{T}z+C^{T}v\)
\(w=B^{T}z\)
則稱\(S_1\)和\(S_2\)為對偶系統。
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對偶原理
設\(S_1\)和\(S_2\)是互為對偶的兩個系統。若\(S_1\)是狀態完全能控(或完全能測的)，則\(S_2\)是狀態完全能測（或完全能控的）
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對偶系統的兩個基本特征
- 對偶系統的傳遞函數互為轉置
- 對偶系統特征值相同
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7.4.4非奇異線性變換的不變特性與約當判別法
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非奇異線性變換的不變特性：系統的特征值，傳遞函數，能控性和能測性不變
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約當判別法
對於具有Jordan規范型的系統。
（1）系統完全可控\(\Longleftrightarrow\)每個Jordan塊末行對應的\(B\)矩陣中的行元素不全為0
（2）系統完全能觀測\(\Longleftrightarrow\)每個Jordan塊首列所對應的\(C\)矩陣中的列元素不全為0
對角規范型可看成是特殊的Jordan規范型，每個Jordan Block的維數是1×1，該元素既是末行也是首列，並且不能存在2個Jordan塊由相同特征值構成，此時上述結論不成立。
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系統的能控性、能觀測性與傳遞函數的關系
對於SISO，系統是既能控又能觀測$\Longleftrightarrow $傳遞函數的分子、分母之間沒有公因式
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7.5線性系統的狀態反饋與極點配置
閉環系統性能與閉環極點密切相關。采用系統狀態作為反饋量，這就是狀態反饋。
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7.5.1狀態反饋
狀態反饋是將系統的每一個狀態變量乘以相應的反饋系數，然后反饋到輸入端與參考端輸入相減形成控制律，作為系統的控制輸入。
可以證明：狀態反饋不改變系統的能控性，但有可能改變系統的能觀測性
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7.5.2極點配置
對於單輸入系統
\(\dot{x}=Ax+Bu\)
\(y=Cx\)
一組期望的閉環特性值為\(\{s_1^*，s_2^*,...,s_n^*\}\)，試確定\(1×n\)的反饋增益矩陣\(K\)，通過狀態反饋矩陣\(u=r=Kx\),使閉環系統
\(\dot{x}=(A-BK)x+Br\)
\(y=Cx\)
的極點滿足\(\{s_i^*,i=1,...,n\}\),該問題稱為系統的極點配置問題
定理：利用線性狀態反饋，可實現閉環極點任意配置\(\Longleftrightarrow\)系統狀態完全可控
7.6狀態觀測器
狀態觀測器設計問題又常稱為狀態重構問題。狀態重構問題的實質就是利用原系統中可直接測量的變量重新構造一個系統。
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7.6.1全維狀態觀測器
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7.6.2全維狀態觀測器的設計
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7.6.3降維狀態觀測器
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7.6.4分離原理
對於系統的綜合一個重要手段就是引入狀態反饋。如果狀態量是完全可以測量的，則可以直接構成狀態反饋；若狀態變量不完全可測，就要借助狀態觀測器，利用重構狀態進行反饋設計，此時，他與直接狀態反饋有何相同與不同呢?
設系統的SSE如下
\(\dot{x}=Ax+Bu\)
\(y=Cx\)
若(A,B)矩陣對是可控的，則可以通過選擇狀態反饋增益矩陣K,使閉環系統性能按要求配置。若(A,C)矩陣對可觀測，則即使系統狀態不完全可測量，可構造一個觀測器，重構系統狀態。假設系統狀態可測，直接引入如下狀態反饋
\(u=-Kx+v\)
則對應閉環系統為
\(\dot{x}=(A-BK)x+Bv\)
\(y=Cx\)
若狀態不完全可測量，則基於狀態觀測器的狀態反饋矩陣控制律為
\(\dot{\bar{x}}=(A-LC)\bar{x}+Bu-Ly\)
\(u=-K\bar{x}+v\)
狀態誤差\(\widetilde{x}(t)=\bar{x}-x\)。則\(\dot{\widetilde{x}}(t)=(A-LC)\widetilde{x}(t)\)
整個系統的極點由\((A-BK)\)和\((A-LC)\)組成，所以控制系統的動態特性和觀測器特性是相互獨立的。因此，只要系統滿足(A,B)可控，(A,C)可測，就可以分別 按由系統狀態直接實現狀態反饋的方程 設計狀態反饋增益矩陣K 以及 按設計不含狀態反饋的系統狀態觀測器的方法 選擇觀測器增益矩陣L，這個原理稱為分離原理。需要注意的是，觀測器極點的選擇比系統極點的選擇更負，或者說離虛軸更遠，以保證觀測器的過渡過程比系統過渡過程短。
附錄 現代控制論中的常見問題#
- 自適應控制
- 最優控制
- 變結構控制
- 系統鎮定：受控系統通過狀態反饋/輸出反饋，使得閉環系統漸進穩定，這樣的問題稱為鎮定問題。能通過反饋控制而達到漸進穩定的系統是可鎮定的。為了使系統穩定，只需將那些不穩定因子，即具有非負實部的極點，配置到\(s\)平面的左半平面即可。因此，通過狀態反饋/輸出反饋矩陣使系統的特征值得到相應配置，把系統的特征值配置在\(s\)平面的左半開平面就可以實現系統鎮定。參考：https://wenku.baidu.com/view/3e014a5df01dc281e53af0e0.html
- 解耦問題：解耦控制問題是線性系統理論上的經典問題，表示選擇適當的控制規律將一個多變量系統化為多個獨立的單變量系統的控制問題。該問題最早在30年代末提出，1969年由E.G.吉爾伯特比較深入和系統地加以解決。