線性系統的時域分析方法

第三章 線性系統的時域分析方法

3-1 系統時間響應的性能指標

1. 典型輸入信號

2. 動態過程與穩態過程

動態過程：指系統在典型輸入信號下，系統輸出量從初始狀態到最終狀態的響應過程。根據系統結構和參數選擇情況，動態過程表現為衰減、發散或等幅振盪形式。

穩態過程：系統在典型輸入信號下，當時間t趨向於無窮時，系統輸出量的表現形式。

3. 動態性能

1. 上升時間：響應從終值10%上升到90%所需的時間；對於有振盪的系統，亦定義為響應從零第一次上升到終值所需要的時間。上升時間越短，響應速度越快。
2. 峰值時間：響應超過其終值到達第一個峰值所需的時間
3. 調節時間：響應到達並保持在終值 $\pm$5% 內所需的最短時間
4. 超調量 \(\sigma\%\)：響應的最大偏離量 \(c(t_p)\) 與終值 \(c(\infty)\) 的差與終值 \(c(\infty)\) 比的百分數。若 \(c(t_p)<c(\infty)\)，則響應無超調。

3-2 一階系統的時域分析

系統對輸入信號導數的響應，等於系統對於輸入信號響應的導數。

跟蹤能力：

時間常數越小，響應速度u越快。

階躍輸入：無穩態誤差；斜坡輸入：穩態誤差等於時間常數T

當傳遞函數為 \(\Phi(s) = \frac1{Ts+1}\)時，一階系統對典型輸入信號的輸出響應：

輸入信號	輸出響應
\(1(t)\)	\(1-e^{-t/T},\quad t\ge0\)
\(\delta(t)\)	\(\frac1Te^{-t/T}\quad t\ge0\)
\(t\)	\(t-T+Te^{-t/T}\quad t\ge0\)
\(\frac12t^2\)	\(\frac12t^2-Tt+T^2(1-e^{-t/T})\quad t\ge 0\)

3-3 二階系統的時域分析

標准二階系統微分方程

\[\ddot{c}(t)+2\zeta\omega_n\dot c(t) + \omega_n^2c(t) = \omega_n^2r(t) \]

閉環傳遞函數

\[\Phi(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2} \]

\(\omega_n\) —— 無阻尼自然振盪頻率

\(\zeta\) ——阻尼比（相對阻尼系數）

開環傳遞函數

\[G(s) = \frac{\omega_n^2}{s(s+2\zeta\omega_n)} \]

標准二階系統的特征方程和特征根

令閉環傳遞函數的分母等於0就得到了標准二階系統的特征方程

\[s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2=0 \\s_{1,2} = -\zeta\omega_n\pm\omega_n\sqrt{\zeta^2-1} \]

\(\zeta\) 的取值決定特征根在 \(s\) 平面的位置。

稱：

\(0<\zeta<1\) —— 欠阻尼

\(\zeta = 1\) —— 臨界阻尼

\(\zeta > 1\) —— 過阻尼

\(\zeta = 0\) —— 無阻尼

二階系統單位階躍響應

1. 欠阻尼的單位階躍響應

\[C(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}\cdot\frac1s\\ c(t) = 1-\frac1{\sqrt{1-\zeta^2}}e^{-\zeta\omega_nt}\sin(\omega_nt+\theta) \]

其中

\[\theta = \arccos\zeta \]

是一個穩態值為1的振盪衰減過程。

2. 無阻尼

\[h(t) = 1-\cos\omega_nt\quad t\ge0 \]

為一個等幅振盪過程。

3. 臨界阻尼

\[c(t) = 1-e^{-\omega_nt}(1+\omega_nt)\quad t\ge 0 \]

4. 過阻尼

\[c(t) = 1+\frac{e^{-t/T_1}}{T_2/T_1-1}+\frac{e^{-t/T_2}}{T_1/T_2-1}\quad t\ge0\\ T_1=\frac1{\omega_n(\zeta-\sqrt{\zeta^2-1})}\\ T_2=\frac1{\omega_n(\zeta+\sqrt{\zeta^2-1})} \]

欠阻尼二階系統的性能分析

上升時間 \(t_r\)

令 \(h(t) =1\)得

\[t_r = \frac{\pi-\theta}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}} \]

其中 \(\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\) 被稱為阻尼振盪頻率。

\(\theta = \arccos\zeta\) 稱為阻尼角。

峰值時間 \(t_p\)

令 \(\frac{\mathrm dh(t)}{\mathrm dt} = 0\)得

\[t_p = \frac\pi{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}} \]

超調量

\[\sigma_p = e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}\times100\% \]

調節時間（從振盪開始到回歸到一定誤差范圍內的正常值）

\[t_s = \frac3{\zeta\omega_n}(5\%的誤差帶)\\ t_s = \frac4{\zeta\omega_n}(2\%的誤差帶) \]

延遲時間

\[t_d = \frac{1+0.7\zeta}{\omega_n} \]

振盪次數

\[N = \frac{t_s\omega_d}{2\pi} \]

過阻尼系統的性能分析

上升時間

\[t_r =\frac{1+1.5\zeta+\zeta^2}{\omega_n} \]

高階系統的時域分析

當已知高階系統的各個閉環極點后，可以將其化為以下形式：

\[\Phi(s) = \sum_{j=1}^q\frac{A_j}{s+s_j}+\sum_{k=1}^r\frac{B_ks+c_k}{s^2+2\zeta_k\omega_{nk}s+\omega_{nk}^2} \]

實部為負的極點

越靠近虛軸，衰減速度越慢，對過渡過程的影響越大。

閉環極點約靠近虛軸，超調量越大；

二階系統的單位斜坡響應

欠阻尼

\[c(t) = t-\frac{2\zeta}{\omega_n}+\frac1{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}e^{-\zeta\omega_nt}\sin(\omega_nt\sqrt{1-\zeta^2}+2\arccos\zeta) \]

臨界阻尼

\[c(t) = t-\frac2{\omega_n}+\frac2{\omega_n}(1+\frac12\omega_nt)e^{-\omega_nt}\quad t\ge0 \]

過阻尼

\[\begin{aligned} c(t) = t-\frac{2\zeta}{\omega_n}&+\frac{2\zeta^2-1+2\zeta\sqrt{\zeta^2-1}}{2\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}e^{-(\zeta-\sqrt{\zeta^2-1})\omega_nt}\\ &-\frac{2\zeta^2-1-2\zeta\sqrt{\zeta^2-1}}{2\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}e^{-(\zeta+\sqrt{\zeta^2-1})\omega_nt} \end{aligned} \]

穩態分量恆為 \(t-\frac{2\zeta}{\omega_n}\)

二階系統性能改善

（1）比例-微分控制

則閉環傳遞函數變為

\[\Phi(s) = \frac{(T_ds+K_d)\omega_n^2}{s^2+(2\zeta\omega_n+T_d\omega_n^2)s+\omega_n^2} \]

使用比例-微分控制后，既可以減小系統在斜坡輸入時的穩態誤差，又可以使系統在階躍輸入時有滿意的動態性能。

（2）測速反饋控制

通過將輸出的速度信號反饋到輸入端，並與誤差信號比較，可以增大系統阻尼，改善系統性能。

與微分-控制系統不同的是，測速反饋會降低系統的開環增益，從而加大系統在斜坡輸入時的穩態誤差。

3-5 線性系統的穩定性分析

穩定性是指系統在受到擾動下偏離原始狀態，在擾動消失后恢復到原平衡狀態的性能。

如果系統受到擾動后，無論初始偏差有多大，都能恢復到原始平衡狀態，則這種系統稱為大范圍穩定的系統；如果初始偏差只在小於某一范圍時才能恢復到初始平衡狀態，則稱這種系統為小范圍平衡的系統。

穩定的充要條件

當且僅當系統的特征根全部具有負實部時，系統才具有穩定性；若有一個正實部根，不穩定；若有一個或一個以上零實部，則具有臨界穩定性。

赫爾韋斯判定

勞斯判定

勞斯表的計算：對於上面的那個四元素矩陣：負對角線減去主對角線除以左下角的值。

勞斯判定的特殊情況

1. 勞斯表中的某行的第一列項為零，而其余各項不為零，或不全為零

   可以用因子 \((s+a)\) 乘以原特征方程，其中 \(a\) 為任意正數。

2. 勞斯表中出現全零行

   根據上一行的系數構建一個輔助方程，求導后作為系數寫入。

3-6 線性系統的穩態誤差計算

\[E(s) = R(s) - H(s)C(s) \]

誤差的時域表達式為

\[e(t) = \mathcal{L}^{-1}[E(s)] = \mathcal{L}^{-1}[\Phi(s)R(s)] \]

如果 \(sE(s)\) 的極點均位於 \(s\) 左半平面（包括坐標原點），根據拉氏變換的終值定理，可方便地求出穩態誤差

\[e_{ss}(\infty) = \lim_{s\rightarrow0}sE(s) = \lim_{s\rightarrow0}\frac{sR(s)}{1+G(s)H(s)} \]

這里要注意拉普拉斯變換終值定理的應用條件：\(sE(s)\) 的全部極點位於 \(s\) 平面的左半平面。

系統類型

在一般情況下，分子階次為 m, 分母階次為 n的開環傳遞函數為

\[G(s)H(s) = \frac{K\prod_{i=1}^m(\tau_Is+1)}{s^v\prod_{j=1}^{n-v}(T_{jS}+1)} \]

其中 \(K\) 為開環增益

我們通過 \(v\) 的數值來稱呼相應系統的類型，比如 \(v = 0\) 就是零型系統，\(v=1\)就是I型系統。

3-7 擾動作用下的穩態誤差

如圖為有擾動作用下的信號流圖

令輸入 \(R(s)=0\)，得擾動的傳遞函數

\[\Phi_n(s) = -\frac{G_2}{1+G_1G_2H} \]

擾動輸入的穩態誤差

\[e_{nss} = \lim_{s\rightarrow0}s\cdot E_n(s)=\lim_{s\rightarrow0}s\cdot\Phi_n(s)\cdot N(s) \]