[Class]數值分析.王兵團.北京交通大學.全128講[48:35:32]_嗶哩嗶哩_bilibili
注解：
1.線性代數中線性方程組的方法：克拉默法則。
線性方程組：
Ax=b
解：
xi=Di/D
如果A可逆，還可以寫成：x=A-1/b
方程組的解是：系數行列式某一項換成等式右端常數項/系數行列式。
既然可以有這么好的公式，那為何還要學習其它解法呢？答：好多數學的公式一旦用到計算機里面，就不行了。
有人實驗過，100萬/s的計算量，解算40階的線性方程組的解，要算一年。
天氣預報的話有幾百萬幾千萬的方程組，怎樣快速解出來？
大規模集成電路也需要解大規模方程組的。
人們需要快速求解大規模的線性方程組，這樣，理論解就不行了。
數值分析講的是怎樣用計算機快速求出數學問題的解。
注解：
1.如果方程組的數量>未知數個數，沒有解，或者有最小二乘解。
2.如果如果方程組的數量<未知數個數，沒有解，有無窮多解。
3.如果如果方程組的數量=未知數個數，有唯一解。計算機做的最多的是這種情況：即方(陣)的情況。
4.線性方程組怎么得來的？答：每次實驗得來的。
5.一個系統，有n個元器件，xi代表第i個元器件，每個元器件相當於一個變量xi,它們之間的變化有一定的關系。每實驗一次，得到一個它們之間相互關系的方程。實驗n次，得到n個方程。通過方程組，求出n個元器件情況。
注解：
1.計算機求的解都是近似解。
2.學一個東西，怎樣學好？答：通過類比去看。
注解：
1.簡單迭代法是怎樣做的？
答：
數值分析6(2簡單迭代法)蘇州大學_嗶哩嗶哩_bilibili
注解：
1.初值可以給成：[0,0,0,...].
2.x是一個向量。
注解：
1.構造迭代格式所用的等價形式一定是有的。
2.未必都收斂的意思：比如，如果c給的合適，就收斂，如果不合適，就不收斂。
3.前文的引例就是example9.
注解：
1.xk代表第k步的迭代值。xk是一個向量，所以ε(k)也是一個向量，是指第k步的迭代誤差。
2.紅色部分的等式是一個遞推式子。
3.。。。完全取決於迭代矩陣B，跟初值怎樣選擇是沒有關系的。那看一下什么樣的矩陣迭代B，它的(k+1)次冪作用到一個非零向量上，當k趨近於無窮大時能讓誤差逐步收斂到0？
注解：
1.或者后面的等式：相當於范數收斂於0數值。
2.||B||，這個范數未必是2范，1范，2范，3范，4范。。。無窮范都行的。只要找到B的某范數小於1就行。
3.不同的范數，值不一樣，有可能2范小於1，但無窮范數可能>1,也有可能1、2、3范數>1，但這並不能說明所有范數都是>1的，有可能是有<1的范數，沒有找到。
4.范數有無窮多個，不可能逐一檢驗。
注解：
1.所有的范數，都是>=譜半徑的。
2.這樣就不用着1范，2范，3范，或者幾范了，只要譜半徑<1,迭代就會收斂。只要譜半徑>=1,就不收斂。
注解：
1.等價變形等式的兩端都有未知向量，也就是都有未知參數。
注解：
1.線性方程組迭代求解，做的比較早的是Jocobi,
2.如果是方程兩邊只有一個變量，那么可以直接求出這個參數變量的值，但是線性方程組的變量有很多，比如有30個，那么可以：利用第一個方程組把第一個變量x1解出來，利用第二個方程把第二個參數變量x2表示出來，。。。
注解：
1.其實(3.5)式可以表示成矩陣的的形式，但是Jacobi時代矩陣的概念可能還沒出來。
2.那我可以第一個方程解第二個變量，第二個方程我解第一個變量，這樣可以嗎？答：可以，但是沒有規律。(3.5)式有唯一性。
3.那也可以第一個方程解第n個變量，第n個變量解第1個變量，這樣也可以，但是這樣的做法不是最簡單的做法。
注解：
1.這個公式就是著名的Jacobi迭代公式。
2.使用Jacobi迭代公式計算線性方程組的解就叫做Jacobi迭代法。
3.在欣賞別人做的東西的同時，看還能不能改進了，不要迷信、神話專家。做不了大的突破，小的突破也可以，這種意識一定要有。----王兵團
4.Jacobi迭代過程中，看方程組里面的第一個方程，當使用第k次的參數向量的值帶入第1個式子解出等式左邊的x1的時候，x1的值是第k+1次的值了。此時，解第2個方程的時候，第2個方程右邊的x1具備了新的值，那可不可以把更新后值帶入呢？答：可以。應該帶入更新后的值，按照這個思路，當利用第n個方程對第n個參數進行迭代計算的時候，方程右邊所有的參數變量都更新了新的值了。這樣的話，就得到了如下的Seidel公式了：
注解：
1.有人在Jacobi迭代公式的基礎上做了一次小小的加工，做的工作很少，但是留名了。他就是Seidel.
2.數學公式構造都要有一個特點，要准確，要快速。
3.只看第n個方程，方程左邊的參數(也是參數向量的最后一個參數)的值已經是第k+2次的值了。
4.對比Jacobi迭代來說，Seidel從第k次迭代到第k+1次后參數向量的第n個分量，是Jacobi迭代法從第k+1次迭代到k+2次后參數向量的第n個分量。
5.都收斂的情況下，Seidel迭代比Jacobi迭代能更快的收斂。
1是Jacobi迭代是收斂范圍，3是Seidel迭代的收斂范圍，2是他們共同的收斂范圍。在區域2中，Seidel迭代比Jacobi迭代收斂的更快，也就是前者比后者有更快的收斂速度。
6.隨着電子計算機的發展，現在有並行計算，可以很多計算機同時做一個任務。Jacobi迭代更適合於並行計算。在Jacobi迭代中，給出參數向量xk,可以並行算出參數向量xk+1。而Seidel迭代是一環套一環的，只能依次計算，這樣的話，Jacobi迭代又比Seidel迭代快了。
7.有一些舊的知識點隨着新技術尤其是計算機技術和算法的發展，可能又會煥發出青春。
注解：
1.把變量的差作為迭代的補償，為了使得補償變得更加豐富，加上一個松弛因子，通過放大或者縮小Δx，以調控新的值，最終目的是使得迭代更快的收斂。
注解：
1.不動點的理解：在方程的右邊帶入參數向量(x1,x2,x3),得到的點還是(x1,x2,x3)，但是值是新值。
然后，寫出線性方程組的Jacobi和Seidel迭代格式：
注解：
1.考試題目：寫出一個線性方程組的Jacobi迭代格式，Seidel迭代格式。
注解：
1.這是Sor（超松弛）迭代格式。
下面的內容是用矩陣寫線性方程組。那能否通過矩陣描述線性方程組的迭代計算呢？
注解：
1.迭代矩陣B是一個常數矩陣。
注解：
1.一個數列收斂的定義是：
lim xk=x*(k趨近於無窮)<=> lim |xk-x*|(k趨近於無窮)=0
絕對值代表距離，兩個數的距離趨近於0，說明它們靠的越來越近。
2.向量收斂怎樣定義？
答：向量可以看成是空間的一個點。
向量的收斂還是從距離的角度進行定義。
3.范數就是距離，是空間的距離。
注解：
1.還有個p范數，可以包含這3中范數。
||x||p=
2.以平面點(3, 4)為例，1范是7，2范是5，無窮范數是4. 1范是走直角后的距離，2范是走斜邊的距離，無窮范數是先像y軸投影，再走較長邊的距離。
3.研究這么多范數的目的，是為了研究距離，研究距離的目的是為了定義收斂。距離為趨近於0意味着無限靠近，這意味着收斂。
注解：
1.人們把矩陣看成是特殊的向量。
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