如何區分線性系統與非線性系統

 想要明白線性系統，我們先要了解線性這個概念，以及知道線性系統可以用微分方程表示

線性性

對於一個函數 y=f(x) 來說，如果他有線性性，則必須要滿足兩個法則：比例性和疊加性

1. 比例性：對於任意的a，都有 a  =  (a  ) 成立，即x擴大a倍，y也擴大a倍。
2. 疊加性：若  =  （  ），  =  (  ) ，則 ( +  )=  (  +  )

比如 y=x+1 是一條直線，但它並不是線性的，即不滿足上述條件，所以並不是所有直線都是線性的

微分運算也是一種線性運算

• 檢驗比例性

設  =  (x) , 則d(ky)/dx = kd(y)/dx = kg , 故滿足比例性

• 檢驗疊加性

設  =  (  ) ,  =  (  ) , 則 d(  +  )/dx = d(  )/dx+d(  )/dx =  +  , 故滿足疊加性

更高階的微分同理可證，所以微分運算也是一種線性運算

這里提一句，單純的微分運算對常數項無要求，即有無常數項都滿足線性性

微分方程的線性性

微分方程是在微分計算的基礎上的數學運算，設有下述微分方程:

  +  =   + 

可以驗證比例性  , 疊加性  都成立

這里我就不驗證了，第一次打公式，真的感覺好麻煩

這里又提一下，微分方程對常數項就有要求了，即有常數項，則微分方程不具有線性性

線性系統

可以用簡單的一句話來描述線性系統：若該系統的的微分方程滿足線性性，則該系統為線性系統

但是對於線性系統來說，一定要先區分系統的輸入與輸出，再來分析線性系統

例如函數： 

此時  才是輸入，t不是直接的輸入變量，所以即使  不是線性的，但該系統仍是線性的

如何從微分方程上判斷線性系統

1. 只能出現函數本身，以及函數的任何階次的導函數；
2. 函數本身跟所有的導函數之間除了加減之外，不可以有任何運算；
3. 函數本身跟本身、各階導函數本身跟本身，都不可以有任何加減之外的運算；
4. 若有積分項，被積函數應為輸入變量，如  。其實積分就是微分的負次冪。
5. 不允許對函數本身、各階導函數做任何形式的復合運算。

與高等數學的線性方程的區別（以一階為例）

高等數學中的一階線性微分方程通常表示為： 

自控原理中的一階線性微分方程通常表示為： 

看到兩式的區別了嗎？高數中  是  的函數，自控中  都是  的函數。