非線性規划（1）

實驗目的：

  學會運用Mathematica、Lingo或Matlab軟件求解非線性規划模型。

實驗步驟：

     實驗步驟要有模型建立，模型求解、結果分析。

實驗內容：

  （1）某廠向用戶提供發動機，合同規定，第一、二、三季度末分別交貨40台、60台、80台．每季度的生產費用為f(x)=ax+bx²（元），其中x是該季生產的台數．若交貨后有剩余，可用於下季度交貨，但需支付存儲費，每台每季度c元．已知工廠每季度最大生產能力為100台，第一季度開始時無存貨，設a=50、b=0.2、c=4，問工廠應如何安排生產計划，才能既滿足合同又使總費用最低．討論a、b、c變化對計划的影響，並作出合理的解釋。

  （2）一基金管理人的工作是，每天將現有的美元、英鎊、馬克、日元四種貨幣按當天匯率相互兌換，使在滿足需要的條件下，按美元計算的價值最高．設某天的匯率、現有貨幣和當天需求如下：

	美元	英鎊	馬克	日元	現有量	需求量
美元	1	.58928	1.743	138.3	8	6
英鎊	1.697	1	2.9579	234.7	1	3
馬克	.57372	.33808	1	79.346	8	1
日元	.007233	.00426	.0126	1	0	10

問該天基金管理人應如何操作(“按美元計算的價值”指兌入、兌出匯率的平均值，如1英鎊相當於(1.697+(1/0.58928))/2=1.696993美元)． 

實驗步驟：

　　使用Lingo求解：

model:
min=50*x1+0.2*(x1^2)+4*(x1-40)+50*x2+0.2*(x2^2)+4*(x1+x2-100)+50*x3+0.2*(x3^2);
    x1>=40;
    (x1-40)+x2>=60;
    (x1-40)+x2-60+x3=80;
    0<=x1;x1<=100;
    0<=x2;x2<=100;
    0<=x3;x3<=100;
@gin(x1);
@gin(x2);
@gin(x3);
end

　　運行截圖：　　

　　

　　使用Mathematica求解，

(*非線性一,1*)
Minimize[{50*Subscript[x, 1]+0.2*\!\(\*SubsuperscriptBox[\(x\), \(1\), \(2\)]\)+4*(Subscript[x, 1]-40)+50*Subscript[x, 2]+0.2*\!\(\*SubsuperscriptBox[\(x\), \(2\), \(2\)]\)+4*(Subscript[x, 1]+Subscript[x, 2]-100)+50*Subscript[x, 3]+0.2*\!\(\*SubsuperscriptBox[\(x\), \(3\), \(2\)]\),
Subscript[x, 1]>=40,Subscript[x, 1]-40+Subscript[x, 2]>=60,Subscript[x, 1]-40+Subscript[x, 2]-60+Subscript[x, 3]==80,
0<=Subscript[x, 1] && Subscript[x, 1]<=100,0<=Subscript[x, 2] && Subscript[x, 2]<=100,0<=Subscript[x, 3] && Subscript[x, 3]<=100,
Subscript[x, 1]\[Element]Integers,Subscript[x, 2]\[Element]Integers,Subscript[x, 3]\[Element]Integers
},{Subscript[x, 1],Subscript[x, 2],Subscript[x, 3]}]

　　

　　使用MATLAB求解，

%電動機生產的非線性規划問題
%目標函數
H=[0.4 0 0;0 0.4 0;0 0 0.4];%二次項
c=[58;54;50];%一次項
%約束條件
A=[1 0 0;1 1 0;];%不等式項
b=[40;100];
Aeq=[1 1 1];%使用時取負，使得不等式符號改變
beq=[180];
[x,z]=quadprog(H,c,-A,-b,Aeq,beq,[0;0;0],[100;100;100]);
x
z-560%把常數項減掉

　　  

　　解得第一季度生產50台發動機，第二季度生產60台發動機，第三季度生產70台發動機，所花總成本最小，為11280元。　　

 　　使用Lingo求解，

model:
sets:
row/1..4/:v,n;
Links(row,row):r;
endsets
data:
v=8,1,8,0;
n=6,3,1,10;
r=1,0.58928,1.743,138.3,
1.697,1,2.9579,234.7,
0.57372,0.33808,1,79.346,
0.007233,0.00426,0.0126,1;
enddata
y1=(r(2,1)+1/r(1,2))/2;
y2=(r(3,1)+(1/r(1,3)))/2;
y3=(r(4,1)+(1/r(1,4)))/2;
max=x1+x2*r(1,2)*y1+x3*r(1,3)*y2+x4*r(1,4)*y3+x5*r(2,1)+x6*y1+x7*r(2,3)*y2+x8*r(2,4)*y3+x9*r(3,1)+x10*r(3,2)*y1+x11*y2+x12*r(3,4)*y3;
x1+x2+x3+x4=8;
x5+x6+x7+x8=1;
x9+x10+x11+x12=8;
x1+r(2,1)*x5+r(3,1)*x9>=6;
r(1,2)*x2+x6+r(3,2)*x10>=3;
r(1,3)*x3+r(2,3)*x7+x11>=1;
r(1,4)*x4+r(2,4)*x8+r(3,4)*x12>=10;
end

　　 

　　使用Mathematica求解

(*非線性一,2*)
Maximize[{Subscript[x, 1]+Subscript[x, 2]*0.58928*1.69699+Subscript[x, 3]*1.743*0.573722+Subscript[x, 4]*138.3*0.00723183+
Subscript[x, 5]*1.697+Subscript[x, 6]*1.69699+Subscript[x, 7]*2.9579*0.573722+Subscript[x, 8]*234.7*0.00723183+Subscript[x, 9]*0.57372+Subscript[x, 10]*0.33808*1.69699+
Subscript[x, 11]*0.573722+Subscript[x, 12]*79.346*0.00723183,
Subscript[x, 1]+Subscript[x, 2]+Subscript[x, 3]+Subscript[x, 4]==8,
Subscript[x, 5]+Subscript[x, 6]+Subscript[x, 7]+Subscript[x, 8]==1,
Subscript[x, 9]+Subscript[x, 10]+Subscript[x, 11]+Subscript[x, 12]==8,
Subscript[x, 1]+1.697*Subscript[x, 5]+0.57372*Subscript[x, 9]>=6,
0.58928*Subscript[x, 2]+Subscript[x, 6]+0.33808*Subscript[x, 10]>=3,
1.743*Subscript[x, 3]+2.9579*Subscript[x, 7]+Subscript[x, 11]>=1,
138.3*Subscript[x, 4]+234.7*Subscript[x, 8]+79.346*Subscript[x, 12]>=10,
Subscript[x, 1]>=0,Subscript[x, 2]>=0,Subscript[x, 3]>=0,Subscript[x, 4]>=0,Subscript[x, 5]>=0,Subscript[x, 6]>=0,Subscript[x, 7]>=0,Subscript[x, 8]>=0,Subscript[x, 9]>=0,Subscript[x, 10]>=0,Subscript[x, 11]>=0,Subscript[x, 12]>=0
},{Subscript[x, 1],Subscript[x, 2],Subscript[x, 3],Subscript[x, 4],Subscript[x, 5],Subscript[x, 6],Subscript[x, 7],Subscript[x, 8],Subscript[x, 9],Subscript[x, 10],Subscript[x, 11],Subscript[x, 12]}]

　　 

　　結果為，

 

小結：

　　未知量的設置應該盡量減小目標函數的復雜程度，能使用一元的就不使用多元，能使用一次方程的就使用一次方程，能使用多項式的就不使用帶對數或三角函數的方程。在編程解決問題時，必須考慮式子的靈敏度，誤差限。