自動控制理論根軌跡方法學習筆記

note 2020-07-26搬運 下面的內容來自我的csdn博客

目錄

• 根軌跡法（又稱艾文斯方法）Root Locus Techniques
• 繪制根軌跡的基本法則
• 參數根軌跡和根軌跡簇
• 延遲系統根軌跡的繪制
• 系統性能的分析和估算

根軌跡法（又稱艾文斯方法）Root Locus Techniques

• 根軌跡的概念。是開環系統某一參數從零變化到無窮時，閉環系統特征方程的根在s平面上變化的軌跡。

• 根軌跡增益。設系統傳函為\(G(s)\),並可表示成下列零極點形式：

\[G(s)=\frac{K^*\prod\limits_{i=1}^{m}(s-z_i)}{\prod\limits_{j=1}^{n}(s-p_j)} \]

則稱\(K^*\) 為系統的根軌跡增益。如果\(G(s)\)是閉環傳函，則\(K^*\)是閉環根軌跡增益；如果\(G(s)\)是開環傳函，則\(K^*\)是開環根軌跡增益。

• 閉環零點、極點和開環零點、極點之間的關系

• 根軌跡方程。系統閉環特征方程的根滿足

\[1+G(s)H(s)=0 \]

繪制根軌跡的基本法則

\(K^*\)從0變化到\(+\infty\)時，系統的根軌跡稱為常規根軌跡或180°根軌跡。

\(K^*\)從\(-\infty\)變化到0時，系統的根軌跡稱為零度根軌跡。

• 概略繪制常規根軌跡的基本法則 7條

• 概略繪制零度根軌跡的基本法則 7條

參數根軌跡和根軌跡簇

當系統開環傳函的某一零點的值或某一極點的值變化，或者分子分母多項式的某一系數變化時，系統的閉環根軌跡稱為參數根軌跡。

• 等效變換
• 概略繪制參數根軌跡
• 根軌跡簇。當系統中多個參數變化時，選取某一個參數作為變化參數，對於其余可變參數的每一組值，都可作出相應的參數根軌跡，這樣獲得的一簇根軌跡就是根軌跡簇。（控制變量法）

延遲系統根軌跡的繪制

• 延遲系統的相角條件和模值條件
• 延遲系統根軌跡的主要特點
• 概略繪制延遲系統根軌跡的基本法則 7條

系統性能的分析和估算

• 主導極點和偶極子。

  • 主導極點是閉環極點中離虛軸最近，附近又無零點的實數極點和共軛復數極點，對系統動態性能的影響最大，起着主要的作用。一般非主導極點的實部比主導極點的實部大3~5倍以上。

  • 當某個閉環極點和某個閉環零點間距很近，它們之間的距離比它們到虛軸的距離小於一個數量級時，稱這對零極點為偶極子。偶極子若不十分靠近虛軸，可近似看成閉環零極點對消，因此對系統動態過程的影響可忽略不計。

• 用低階模型近似估算系統性能

繪制概略根軌跡時要注意的7處細節：

1. 根軌跡的起點和終點
2. 根軌跡的對稱性和分支數
3. 根軌跡的漸近線
4. 實軸上的根軌跡區間
5. 根軌跡的分離點
6. 根軌跡的起始角和終止角
7. 根軌跡與虛軸的交點

 
 
 

本來想做個輸入零極點畫出階躍響應和根軌跡等等分析圖的演示程序來着，

在網上找了找，發現MATLAB的SISO工具挺好用
參考https://max.book118.com/html/2015/1115/29608675.shtm
SISO工具默認的框圖結構是:

我自己做的一個例子的截圖如下：（F，G和H保留默認的1）

 
 
 

讀了錢學森的《工程控制論》的4.4艾文斯方法 這一節，下面是有選取的摘抄：

里面提到，

\[\frac{\prod\limits_{j=1}^{n}(s-p_j)}{\prod\limits_{i=1}^{m}(s-z_i)}=-KA \]

如果先左右取對數，然后再用\(2\pi\)除一下，有

\[W(s)=\frac{1}{2\pi}\sum\limits_{i=1}^{n}log(s-p_i)-\frac{1}{2\pi}\sum\limits_{j=1}^{m}log(s-z_i)=\frac{1}{2\pi}logKA+i(\frac{1}{2}) \]

其中利用了\(e^{i\pi}=-1\)

這樣一個數學表達式可以有很多種不同的物理解釋。一個很明顯的解釋就是把\(W(s)\)看作是完全不可壓縮的流體的一個二維無旋運動的復勢函數。如果\(\phi(\lambda,\omega)\)是勢函數，\(\psi(\lambda,\omega)\)是流函數，那么就有

\[W(s)=\phi(\lambda,\omega)+i\psi(\lambda,\omega) \]

根軌跡就是流函數取常數值1/2的那些曲線；

所以根軌跡就是由1/2流線的各個分支所組成的。沿着這條流線勢函數的值是逐點改變的，它等於\(\frac{1}{2\pi}logKA\)

這個流動是由n個單位強度的源點\(p_1\),\(p_2\),...\(p_n\)和m個單位強度的匯點\(z_1\),\(z_2\),...\(z_n\)所構成的。

這條流線勢函數的值是逐點改變的，它等於\(\frac{1}{2\pi}logKA\)

這個流動是由n個單位強度的源點\(p_1\),\(p_2\),...\(p_n\)和m個單位強度的匯點\(z_1\),\(z_2\),...\(z_m\)所構成的。
 
 
 

2020-03-16補充：
這是流線

這是siso工具畫出來的根軌跡

等高線和流線