自動控制原理總結

自動控制原理

1. 自動控制的一般概念

反饋系統的基本組成

• 測量元件
• 給定元件
• 比較元件
• 放大元件
• 執行元件
• 校正元件

自動控制系統的基本控制方式

反饋控制方式

無論什么原因使被控量偏離期望值而出現偏差時，必定會產生一個相應的控制作用去降低或消除這個偏差。

開環控制方式

特點是控制裝置與被控對象之間只有順向作用而沒有反向聯系，系統的輸出量不會對系統的控制作用產生影響。

自動控制系統的分類

線性連續控制系統

線性定常離散控制系統

非線性控制系統

系統只要有一個元部件的輸入-輸出特性是非線性的，這類系統就稱之為非線性控制系統。

對自動控制系統的基本要求

穩定性

我們先討論為什么控制系統會不穩定。

由於一般的控制系統都含有一個儲能元件或者慣性元件，這類元件的能量不可能發生突變。因此從被控量偏離期望值，到控制量做出反應，需要一定的延緩時間，這個過程稱為過渡過程。

當控制量已經回到期望值而使偏差為零時，執行機構本應立刻停止，但是由於過渡過程的存在，使得控制量反而向反向變化，如此反復進行，使得被控量在期望值附近來回擺動，這個過程呈現振盪形式。

如果這個振盪是逐漸減弱的，即控制量最終會回到期望值，我們稱這個系統是穩定的；如果振盪逐漸增強，我們稱這個系統是不穩定的。

快速性

前面提到，雖然穩定系統最終會回到穩定狀態，但是這個回到穩定狀態的快慢對於一些系統來說是非常關鍵的。

一般從控制開始，到系統的輸出量在期望值的一定誤差范圍內來回擺動的時間，我們稱之為調節時間。這個時間一般可以用來反映系統調節的快慢。

而在調節過程，一般振盪都會有個最大振幅，最大振幅一般也對於一些系統來說也非常重要，我們用來這個最大振幅與期望值的差與期望值的比值來反映系統的這個性質，稱之為超調量。

准確性

盡管前面我們提到穩定系統最終會趨於穩定，但是是在期望值的允許誤差范圍內，即使在很大的時間長度上，最終輸出量也難以與期望值完全一致。

我們將無窮的時間尺度下，最終輸出量與期望值之差成為穩態誤差，穩態誤差為無窮大的系統說明不穩定。

2. 控制系統的時域數學模型

傳遞函數

本章引入了一個最重要的概念就是傳遞函數，傳遞函數本質上是對系統從輸入到輸出的中間過程用一個數學模型表示出來以便於分析系統的性質。

傳遞函數一般用復域的模型表示，這樣將輸入用復域表示以后，就可以直接用輸入乘上傳遞函數得到輸出了。

傳遞函數的求法

1. 根據系統特征寫出系統的時域數學方程，一般都是一個微分方程；
2. 微分方程在時域一般都不好解，但是在復數域就特別好解，我們通過拉普拉斯變換求得復域的等效方程；
3. 將方程的一端表示為輸出/輸入以后，另一端就是一個關於 \(s\) 的表達式，從而求得了傳遞函數 \(G(s)\)

傳遞函數的零點和極點

通常傳遞函數都可以表示為下面這個樣子

\[G(s) = K ^*\frac{\displaystyle\prod_{i=1}^m(s-z_i)}{\displaystyle \prod_{j=1}^n(s-p_j)} \]

這樣的一個傳遞函數顯然具有 \(m\) 個零點和 \(n\) 個極點，那么這些零點和極點與傳遞函數乃至於與系統特征的關系是什么呢？

一個最重要的點就是傳遞函數的點就是傳遞函數的極點就是微分方程的特征根，

從微分方程的知識來理解，在時域上求解微分方程特征根有什么用呢？答案是可以根據不同的特征根確定不同的以 \(e\) 為底的指數函數作為結果的一項，在自動控制原理中，這樣的一項稱為一個模態。

傳遞函數的每個極點都會形成一個新的模態 \(e^{p_jt}\)，但這並不是輸出量的所有模態，輸出量還會繼承輸入量的所有模態。

傳遞函數的每個零點雖然不形成新的模態，但是會對不同模態在響應中所占的比重形成影響。

結構圖與信號流圖

sucks, next

梅森增益公式

3. 線性系統的時域分析方法

回顧第二章，我們就學了一個傳遞函數的求法，一個系統的化簡，啥也不夠干的。所以這一章來學習一個線性系統要怎么進行分析，有哪些分析指標。這些指標將對第六章的線性系統的校正做出指導。

對於一個系統，在接受輸入后，其輸出主要可以分為兩個過程：動態過程和穩態過程。

動態過程表示系統從初始狀態到最終狀態的響應過程，所謂最終狀態，就是系統在時間趨於無窮時的輸出狀態，而穩態過程就是這個狀態。所以穩態過程與其說是過程，不如說是狀態。

系統性能指標——時域

先來觀察可以反應系統性能的指標

• 上升時間：從終值10%上升到終值90%的時間，可以反應系統的響應快慢
• 峰值時間：響應到達第一個峰值的時間
• 調節時間：響應進入終值5%范圍內的時間
• 超調量：最大偏離量與終值之差與終值的比值

一階系統的時域分析方法

典型方程為

\[T\dot{c}(t) + c(t) = r(t) \]

懶得分析了，這個太簡單，到了二階系統進行重點分析，可以作為一階的參考

二階系統的時域分析方法

典型微分方程為

\[\ddot{c}(t)+2\zeta\omega_n\dot c(t) + \omega_n^2c(t) = \omega_n^2r(t) \]

其傳遞函數為

\[R(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2} \]

不管輸入是什么，我們先看這個傳遞函數的兩個極點

\[s_1,s_2 = -\zeta\omega_n\pm\omega_n\sqrt{\zeta^2-1} \]

然后就可以發現 \(\zeta <,=,>1\) 的三個狀態會嚴重影響特征根的分布。

單位階躍響應為

\[c(t) =\frac{\omega_n^2}{s_1s_2}+\frac{\omega_n^2e^{s_1t}}{s_1(s_1-s_2)} + \frac{\omega_n^2 e^{s_2t}}{s_2(s_2-s_1)} \]

我們稱 \(\zeta\) 為阻尼比，\(\omega_n\) 為自然振盪頻率。

當 \(\zeta = 0\) 時，系統無阻尼，此時的單位階躍響應為

\[c(t) = 1-\cos\omega_n t \]

此時的振盪頻率就是自然振盪頻率 \(\omega_n\)

\(\zeta\) 逐漸增大的過程中，振盪幅度逐漸減弱，上升時間逐漸增加，超調量逐漸減小。當然這些量都是對於欠阻尼情況下而言。

\[c(t) = 1-\frac1{\sqrt{1-\zeta^2}}e^{-\zeta\omega_n t}\sin(\omega_dt+\beta)\\\beta = \arccos\zeta \]

• 計算上升時間，令 \(c(t)= 1\)得

  \[\sin(\omega_dt_r+\beta) = 0 \\ \Downarrow\\ t_r = \frac{\pi-\arctan\zeta}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}} \]

  當 \(\zeta\) 越小時，上升時間越小

• 接下來的懶得算了

線性系統的穩定性分析

穩定狀態的定義：一個系統無論受到了多大的擾動，都可以最終回到初始的狀態，那么我們稱這個系統是穩定的，並且是大范圍穩定的系統；如果擾動限制在一定范圍內，系統才能回到穩定狀態，則這種系統是小范圍穩定的系統。

線性系統必然在大范圍和小范圍都能穩定，非線性系統才會存在小范圍穩定而大范圍不穩定的情況。

線性系統穩定的充要條件

我們可以將一個擾動等效為一個脈沖輸入，在脈沖輸入的作用下，如果存在

\[\lim_{t\rightarrow\infty}c(t) = 0 \]

則說明系統是穩定的

在一番省略的分析后，得到結論：若特征根中有一個或一個以上的正實部根時，則滿足系統穩定。

勞斯穩定判據

按照勞斯穩定判據，勞斯表第一列值全為正，說明系統穩定；第一列各系數符號的變化次數代表正實部根的數目。

勞斯穩定判據的特殊情況

當第一列項為零，而其他項不全為0時，可以用 \((s+a)\) 乘以原特征方程重新計算

當出現全零行時，可以利用上一行構造輔助方程 \(F(s) = 0\) ，並對該方程進行求導，將求導后的系數填入其中。

穩態誤差計算

系統誤差傳遞函數

\[\Phi_e(s) = \frac{E(s)}{R(s)} = \frac1{1+G(s)H(s)} \]

利用拉普拉斯變換的終值定理：

\[\lim_{t\rightarrow\infty}f(t) = \lim_{s\rightarrow0}sF(s) \]

可以得到

\[e_{ss}(\infty) = \lim_{s\rightarrow0}sE(s) = \lim_{s\rightarrow0}\frac{sR(s)}{1+G(s)H(s)} \]

最值得注意的是這個公式的應用條件，由於這個公式由終值定理得來，所以也是終值定理成立的條件：

1. \(E(s)\) 的分母為零的所有根的實部必須為負值；
2. \(E(s)\) 在原點處不能有多於一個極點。

可以發現這個條件也是系統穩定的充要條件，因為令分母等於零就相當於是特征方程了嘛。同時也很好理解，系統首先必須是穩定的，才會存在所謂的終值，否則系統在無窮遠的時間處依舊在不停搖擺，就無法求出終值，也就無法計算穩態誤差。

當無法應用終值定理，需要將 \(E(s)\) 通過拉普拉斯逆變換得到 \(e(t)\)，取 \(e(t)\) 在無窮遠處不會為零的部分即為穩態誤差的時間函數。

例如

\[E(s) = \frac{Ts}{Ts+1}\cdot\frac{\omega}{s^2+\omega^2} \]

存在兩個極點的實部不為負值，所以逆變換得到

\[e(t) = -\frac{T\omega}{T^2\omega^2+1}e^{-\frac tT}+\frac{T\omega}{T^2\omega^2}(\cos\omega t+T\omega\sin\omega t) \]

其左邊項明顯是屬於瞬態分量，所以穩態誤差的時間函數為

\[e_{ss}(t) = \frac{T\omega}{T^2\omega^2+1}(\cos\omega t+T\omega\sin\omega t) \]

典型輸入作用下的穩態誤差及靜態誤差系數

階躍輸入

\[R(s) = \frac{R_0}s\\ e_{ss} = \lim_{s\rightarrow0}\frac{R_0}{1+G(s)H(s)} = \frac{R_0}{1+\lim_{s\rightarrow0}G(s)H(s)} = \frac{R_0}{1+K_p} \]

\(K_p\) 就稱為靜態誤差系數。

又有

\[G(s)H(s) = \dfrac{K\displaystyle{\prod_{i=1}^m(\tau_is+1)}}{\displaystyle{s^v\prod_{j=1}^{n-v}(T_js+1)}}, \quad n\ge m \]

則有

\[e_{ss} = \begin{cases}\begin{aligned}&\displaystyle\frac{R_0}{1+K}\quad &v=0\\\displaystyle &0 \quad &v\ge1\end{aligned}\end{cases} \]

說明0型系統可以跟蹤輸入，但有誤差；1型以上可以完全跟蹤輸入。

斜坡輸入

\[R_s = \frac{R_0}{s^2}\\e_{ss} = \frac{R_0}{s(1+K_p)} \]

則有

\[e_{ss} = \begin{cases}\begin{aligned}&\infty &v=0\\&\displaystyle{\frac{R_0}K}&v=1\\&0&v\ge2 \end{aligned}\end{cases} \]

加速度輸入

\[R_s = \frac{R_0}{s^3}\\ e_{ss} = \frac{R_0}{s^2(1+K_a)} \]

則有

\[e_{ss} = \begin{cases}\begin{aligned} &\infty&v\le1\\ &\frac{R_0}K&v=2\\ &0&v\ge 3 \end{aligned} \end{cases} \]

減小或消除穩態誤差的措施

1. 增大系統開環增益或擾動作用下的前向通道增益
2. 在系統的前向通道或者主反饋通道設置串聯積分環節

4. 線性系統的根軌跡法

所謂根軌跡，它表示開環系統的某一參數從零變化到無窮，閉環系統特征方程式的根在 \(s\) 平面上變化的軌跡。

在講如何繪制根軌跡之前，我們先了解一下根軌跡的用途。

1. 穩定性

   前面有提到，線性系統穩定的充要條件是特征方程的所有根的實部均為負數。那么對於根軌跡圖，我們只要觀察其進入虛軸右側的部分對應的開環系統的某一參數，進行調整就能使系統穩定。

2. 穩態性能

   根據要求的穩態誤差，加上系統類型，可以倒推出系統要求的開環增益，從而確定閉環極點的位置的容許范圍。

3. 動態性能

   當所有閉環極點位於實軸上時，系統為過阻尼系統；

   當實數極點重合時，系統為臨界阻尼；

   當極點為復數時，系統為欠阻尼

閉環零、極點與開環零、極點之間的關系

首先明確

\[\Phi(s) = \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \]

• 閉環零點由開環零點和反饋通路的極點組成
• 閉環極點與開環極點、開環零點以及根軌跡增益均有關

根軌跡方程

對於單位反饋系統而言

\[1+G(s)H(s)=0\\\Downarrow\\ K^*\frac{\displaystyle{\prod_{j=1}^m(s-z_j)}}{\displaystyle{\prod_{i=1}^n(s-p_i)}} = -1 \]

根軌跡繪制的基本法則

1. 根軌跡起於開環極點，終於開環零點；

2. 根軌跡的分支數與開環零點和開環極點中的大者相等，分支連續且對稱於實軸；

3. 根軌跡的漸近線

   漸近線的角度間隔和與實軸的交點計算公式為

   \[\varphi_a = \frac{(2k+1)\pi}{n-m}\\\sigma_a= \frac{\displaystyle{\sum_{i=1}^np_i}-\displaystyle{\sum_{j=1}^mz_j}}{n-m} \]

4. 實軸的某一區域，若其右邊開環實數零、極點個數之和為奇數，則該區域必是根軌跡

5. 分離點和分離角

   \[\sum_{j=1}^m\frac1{d-z_j} = \sum_{i=1}^n\frac1{d-p_i} \]

   分離角為 \(\dfrac{(2k+1)\pi}l,l\) 表示相遇的根軌跡的條數

   值得指出的是，如果開環系統無有限零點，應取

   \[\sum_{j=1}^m\frac1{d-z_j} =0 \]

6. 根軌跡的起始角和終止角

   \[\theta_{p_i} = (2k+1)\pi +(\sum_{j=1}^m\varphi_{z_jp_i} - \sum_{j=1\\(j\ne i)}^n\theta_{p_jp_i})\\ \varphi_{z_i} = (2k+1)\pi +(\sum_{j=1\\(j\ne i)}^m\varphi_{z_j}\varphi_{z_i} -\sum_{j=1}^n\theta_{p_jz_i}) \]

7. 若根軌跡與虛軸相交，可以令 \(s=j\omega\) 代入根軌跡方程，分別令實部和虛部等於零求得 \(K^*,\omega\)

廣義根軌跡

盡管我們在前面一直是以根軌跡增益作為變化的參數進行根軌跡繪圖，但是這並不代表根軌跡的全部。我們在定義根軌跡時用的是系統的某一參數從零變化到無窮時根的變化軌跡，所以其他參數也可以變化進行根軌跡繪圖，這樣的根軌跡稱為廣義根軌跡。

參數根軌跡

只要可以將閉環特征方程變化成如下形式：

\[A\frac{P(s)}{Q(s)} = -1 \]

\(A\) 為變化的參數， \(P(s),Q(s)\) 為與A無關的首一多項式。

零度根軌跡

如果所研究的控制系統為非最小相位系統，則有時不能采用常規根軌跡的繪制方法來繪制系統的根軌跡，因為其相角遵循 \(0^\circ+2k\pi\) 條件。

所謂的非最小相位，指在 \(s\) 右半平面具有開環零極點的控制系統。

相比於繪制最小相位的根軌跡，非最小相位的方法只需要改動幾處即可：

漸近線的夾角：

\[\varphi_a = \frac{2k\pi}{n-m} \]

起始角和終止角：

\[\theta_{p_i} = 2k\pi +(\sum_{j=1}^m\varphi_{z_jp_i} - \sum_{j=1\\(j\ne i)}^n\theta_{p_jp_i})\\ \varphi_{z_i} = 2k\pi +(\sum_{j=1\\(j\ne i)}^m\varphi_{z_j}\varphi_{z_i} -\sum_{j=1}^n\theta_{p_jz_i}) \]

5. 線性系統的頻域分析法

頻率特性

直接說結論：對於穩定的線性定常系統，由諧波輸入產生的輸出穩態分量仍然是輸入同頻率的諧波函數，而幅值和相位的變化是頻率\(\omega\)的函數

利用該特性可以求解系統的穩態誤差，例如系統輸入為 \(A\sin\omega_0t\), 則輸出為

\[e_{ss}(t) = A\cdot A(\omega_0)\sin(\omega_0t + \varphi(\omega_0)) \]

定義輸出響應中與輸入同頻率的諧波分量的幅值之比為幅頻特性 \(A(\omega)\) ，定義相位之差為相頻特性 \(\varphi(\omega)\)

定義

\[G(\mathrm j\omega) = A(\omega)e^{\mathrm j\varphi(\omega)} \]

為系統的頻率特性。

直接在傳遞函數中令 \(s = \mathrm j\omega\) 可得到頻率特性

by the way, for

\[G(s) = \frac K{s^v}\cdot\frac{\displaystyle\prod_{i=1}^m(s+b_i)}{\displaystyle\prod_{j=1}^n(s+a_j)},\quad (b_i\ne0,a_j\ne0) \]

its frequency characteristic is:

\[G(\mathrm j\omega) = \frac K{(\mathrm j\omega)^v}\sqrt{\frac{\displaystyle\prod_{i=1}^m(\omega^2+b_i^2)}{\displaystyle\prod_{j=1}^n(\omega^2+a_j^2)}}\cdot e^{\displaystyle \mathrm j(\sum_{i=1}^m\arctan(\frac\omega{b_i})-\sum_{j=1}^n\arctan(\frac\omega{a_j}))} \]

方向：

• 0：向左
• -180：向右
• -270：向下
• -90：向上

頻率特性的幾何表示法

奈奎斯特圖：幅相頻率特性曲線

伯德圖：對數頻率特性曲線

尼科爾斯圖：對數幅相曲線

典型環節與開環系統的頻率特性

七種最小相位環節：

• 比例環節：\(K(K>0)\)
• 慣性環節：\(\dfrac1{Ts+1}\)
• 一階微分環節：\(Ts+1\)
• 振盪環節：\(\dfrac1{\dfrac{s^2}{\omega_n^2}+2\dfrac{\zeta s}{\omega_n}+1}\)
• 二階微分環節：\(\dfrac{s^2}{\omega_n^2}+2\dfrac{\zeta s}{\omega_n}+1\)
• 積分環節：\(\dfrac1s\)
• 微分環節：\(s\)

七種非最小相位環節：

• 比例環節：\(K(K<0)\)
• 慣性環節：\(\dfrac1{Ts-1}\)
• 一階微分環節：\(Ts-1\)
• 振盪環節：\(\dfrac1{\dfrac{s^2}{\omega_n^2}-2\dfrac{\zeta s}{\omega_n}+1}\)
• 二階微分環節：\(\dfrac{s^2}{\omega_n^2}-2\dfrac{\zeta s}{\omega_n}+1\)
• 積分環節：\(\dfrac1s\)
• 微分環節：\(s\)

最小相位環節的零、極點位於 \(s\) 左半平面，非最小相位剛好相反。

最小相位和非最小相位伯德圖的關系

若兩個傳遞函數互為倒數，則它們的bode圖關於\(\omega\) 軸對稱

慣性環節和一階微分環節

慣性環節：

\[G(s) = \frac1{1+Ts}\\ A(\omega) =\frac1{\sqrt{T^2\omega^2+1}}\\ \varphi(\omega) = -\arctan T\omega \]

近似地：

• 當\(\omega\ll\dfrac1T\)時， \(A(\omega)\approx1\)
• \(\omega\gg\dfrac1T, A(\omega)\approx\dfrac1{T\omega},L(\omega)=-20(\lg\omega-\lg\dfrac1T)\)
• \(\omega=\dfrac1T, T\omega=1,L(\omega)=-10\lg2\approx3\mathrm{dB}\)

慣性環節的幅相特性圖為一個以 (1/2, 0)為圓心，1/2為半徑的圓方程

一階微分環節的 幅頻特性圖與慣性環節的關於 \(\omega\) 軸對稱

振盪環節和二階微分環節

兩個特征點需要記住：諧振點、轉折點

\[諧振點:\begin{cases}\omega=\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2}\\A(\omega_r)=\dfrac1{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}} \end{cases}\quad 轉折點:\begin{cases}\omega=\omega_n\\A(\omega_n)=\dfrac1{2\zeta}\\\varphi(\omega_n)=-90^\circ \end{cases} \]

藍色曲線對應大致的曲線，藍色曲線上的轉折點就是剛才說的轉折點。紅色部分表明實際還有一個諧振峰值，諧振點就是該點。

綜合對比

bode圖的繪制

通常 \(G(s)H(s)\) 可以寫成若干個典型環節串聯的形式：

\[G(s)H(s)=G_1(s)G_2(s)G_3(s) \Rightarrow\begin{cases}L(\omega)=L_1(\omega)+L_2(\omega)+L_3(\omega)\\\varphi(\omega) = \varphi_1(\omega)+\varphi_2(\omega)+\varphi_3(\omega) \end{cases} \]

一般需要對振盪環節和二階微分環節進行修正

由 \(L(\omega)\) 反求傳遞函數

通過繪制 bode 圖的步驟我們可以反推出傳遞函數

比如如下圖的一個bode圖

低頻段的斜率就是-20, 說明存在微分環節，而在 \(\omega=1\) 時不為0, 而是15。則有

\[20\lg K = 15\Rightarrow K \approx 5.62 \]

在 \(\omega=2\) 時，斜率下降20, 說明存在慣性環節 \(1/0.5\omega+1\)

在 \(\omega=7\) 時，斜率又上升20, 說明存在一階微分環節 \(\omega/7+1\)

所以完整的傳遞函數為

\[G(s) = \frac{5.62(s/7+1)}{s\cdot (0.5s+1)} \]

頻域穩定判據

幅角定理

設 \(s\) 平面上一閉合曲線 \(\Gamma\) 包含 \(Z\) 個閉環零點和 \(P\) 個閉環極點，當 \(s\) 平面上一點繞 \(\Gamma\) 順時針運動一周后， 對應 \(F(s)\) 平面上的運動的點形成的閉合曲線 \(\Gamma_F\) 繞原點的圈數為

\[R = P-Z \]

\(R<0\) 和 \(R>0\) 分別表示 \(\Gamma_F\) 順時針和逆時針包圍原點的圈數。

\(F(s)\) 的選擇

\[F(s) = 1+G(s)H(s) \]

• \(F(s)\) 的極點就是系統開環傳遞函數的極點
• \(F(s)\) 的零點就是系統閉環傳遞函數的極點

\(\Gamma_F\) 可由 \(\Gamma_{GH}\) 向右移動一位而得

\(\Gamma\) 曲線的選擇

說到 \(\Gamma\) 曲線的選擇，我們需要考慮的是如何利用幅角定理來進行系統穩定性的頻域判定。

前面提到 \(F(s)\) 的零點就是系統閉環傳遞函數的極點，而系統穩定的充要條件是閉環傳遞函數的極點的實部均為負數。因此選擇 \(\Gamma\) 曲線包圍 \(s\) 平面的右半平面，若 \(F(s)\) 在 \(s\) 右半平面的零點數為0, 說明系統穩定。

同時根據幅角定理，從側面也說明\(\Gamma_{F}\) 繞原點逆時針旋轉的圈數

\[R= P \]

如果滿足這個條件，說明 \(F(s)\) 在 \(s\) 右半平面無零點，說明系統穩定。

\(G(s)H(s)\) 閉合曲線的繪制

1. 若虛軸上無極點

   \(\Gamma_{GH}\) 在 \(s=j\omega，\omega\in[0,+\infty)\) 時，對應開環幅相曲線；

   \(\Gamma_{GH}\) 在 \(s=\infty e^{j\omega}\) 時，對應原點(n>m) 或對應開環根軌跡增益(n=m)

2. 若虛軸上有極點

閉合曲線 \(\Gamma_F\) 包含原點圈數 R 的計算

\(N_+\) 表示 \(\Gamma_{GH}\) 在 \((-1,j0)\) 左側從上至下穿越的次數，\(N_-\) 表示從下至上穿越的次數。

\[R= 2(N_+-N_-) \]

如果從實軸開始或者停止在實軸上，則算半次穿越。

穩定裕度

相角裕度 \(\gamma\)

\[A(\omega_c) = |G(j\omega_c)H(j\omega_c)|=1\\ \gamma = 180^\circ + \angle{G(j\omega_c)H(j\omega_c)} \]

表示系統開環特性如果再滯后 \(\gamma\) 度，則系統將處於臨界穩定狀態。

幅值裕度 \(h\)

\[\varphi(\omega_x) = \angle{G(j\omega_x)H(j\omega_x)} = (2k+1)\pi\\ h = \frac1{|G(j\omega_x)H(j\omega_x)|} \]

表示如果系統的開環幅頻特性再增大 \(h\) 倍，系統將處理臨界穩定狀態。

閉環系統的頻域性能指標

頻帶寬度

頻率為零時的分貝值以下3分貝，對應的頻率稱為帶寬頻率 \(\omega_b\)

by the way, \(-3=20\lg\dfrac1{\sqrt2}\)

二階系統頻域指標與時域指標的關系

寫在紙上

線性系統的校正方法

常用校正裝置及其特性

無源校正網絡

對於上述電路進行分析可以得到

\[aG(s) = \frac{1+Tas}{1+Ts}\\ a = \frac{R_2+R_1}{R_2},T=\frac{R_1R_2C}{R_1+R_2} \]

該傳遞函數有一個極點和一個零點

根據傳遞函數可以畫出bode圖和尼科爾斯圖：

可以發現在頻率 \(\dfrac1{aT}\) 和 \(\dfrac1T\) 之間的頻率對相角有超前作用，且最大超前角的頻率 \(\omega_m\) 位於這個范圍的幾何中心。

無源滯后網絡

對於如圖的電路進行分析后可以發現

\[G(s) = \frac{1+bTs}{1+Ts}\\ b = \frac{R_2}{R_1+R_2}<1,T=(R_1+R_2)C \]

通過尼科爾斯圖可以看出，對相角有滯后作用。

通過bode圖來看，滯后網絡對低頻有用信號無衰減，而對高頻噪聲信號產生衰減，\(b\) 越小，通過網絡的噪聲電平越低。

無源滯后-超前網絡

串聯校正

開環頻率特性的

• 低頻段表征了閉環系統的穩態性能
• 中頻段表征了閉環系統的動態性能
• 高頻段表征了閉環系統的復雜性和噪聲抑制性能

無源超前網絡校正的步驟：

1. 根據穩態誤差要求，確定開環增益；

   \[e_{ss}(\infty) = \frac1K \]

2. 利用已確定的開環增益，計算待校正系統的相角裕度；

   需要先畫出bode圖

3. 根據截止頻率 \(\omega''_c\)的要求，計算超前網絡參數 \(a\) 和 \(T\)

   這里需要選擇最大超前角頻率等於要求的系統截止頻率 \(\omega_m=\omega_c''\)

   通過bode圖查看對應 \(\omega_m\) 處的幅值，並利用公式

   \[-L'(\omega_c'')=L_c(\omega_m) = 10\lg a\\ T=\frac1{\omega_m\sqrt a} \]

   計算得到 \(a\) 和 \(T\)

4. 驗算已校正系統的相角裕度

   驗算首先需要根據bode圖求得截止頻率，然后根據相角裕度的定義求得原相角裕度 \(\gamma(\omega_c'')\)

   然后利用公式 \(\varphi_m = \arcsin\dfrac{a-1}{a+1}\) 計算無源超前網絡帶來的超前角

   然后利用 \(\gamma''=\varphi_m+\gamma(\omega_c'')\) 計算得到新的相角裕度，並驗證是否滿足題目要求, 一般要求相角裕度大於 \(45^\circ\)

有些情況采用超前校正是無效的，受以下兩個因素的限制：

1. 為了滿足要求的相角裕度，需要 \(a\) 很大， 從而導致帶寬很大， 帶來過多的高頻噪聲干擾；
2. 在截止頻率附近相角迅速減小的系統，不宜采用串聯超前校正

串聯滯后校正