最值定理和介值定理共有前提：函數 $f(x)$ 在閉區間 $[a,b]$ 上是連續函數。這個前提下面不再贅述。
1. 最值定理
只要前提滿足，則必存在實數 $m$ 和 $M$，使得
$$m \leq f(x) \leq M$$
$m$ 為函數在區間上的最小值，$M$ 為最大值。換句話說：閉區間上的連續函數是一個有界函數，必定存在最大值和最小值。
2. 介值定理
函數 $f(x)$ 在區間的端點取函數值 $f(a)=A,f(b)=B$，且 $A \neq B$，那么當 $C \in (A,B)$ 時，至少存在一點 $\xi \in (a,b)$，使
$$f(\xi) = C$$
為什么需要指明 $A \neq B$ 呢？因為假如 $A = B$，那這個點在開區間內不一定存在，可以這樣改：
當 $C \in [A,B]$ 時，至少存在一點 $\xi \in [a,b]$，使
$$f(\xi) = C$$
注：第一種定義明確了 $\xi$ 會在區間內部，而第二種定義 $\xi$ 可能會出現在區間端點。
將介值定理和最值定理結合起來：
1）對閉區間先使用最值定理，因為閉區間上的連續函數有界並且能取得最大值和最小值。
2）再對最大值點和最小值點所在的子閉區間使用介值定理，即當 $m \leq C \leq M$ 時，該子閉區間上至少存在一點 $\xi$，使得 $f(\xi) = C$。
既然子區間有這個性質，那擴展到整個區間，就得到一個關於介值定理的推論：
閉區間 $[a,b]$ 上連續的函數 $f(x)$，函數最大值 $M$，最小值 $m$，則當 $C$ 滿足 $m \leq C \leq M$，在閉區間上必存在一點 $\xi$ 滿足
$$f(\xi) = C,\xi \in [a,b]$$