1. 偏導數
偏導數 $\neq$ 偏導函數。偏導數是偏導函數在某點的函數值
在點 $(x_{0},y_{0})$ 處對 $x$ 和 $y$ 的偏導數分別為
$$f_{x}^{'}(x_{0},y_{0}) = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_{0} + \Delta x, y_{0}) - f(x_{0}, y_{0})}{\Delta x} = \frac{d}{dx}f(x,y_{0})|_{x=x_{0}}$$
$$f_{y}^{'}(x_{0},y_{0}) = \lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}, y_{0}+ \Delta y) - f(x_{0}, y_{0})}{\Delta y} = \frac{d}{dy}f(x_{0},y)|_{y=y_{0}}$$
將 $x_{0},y_{0}$ 泛化，可得偏導函數：
$$f_{x}^{'}(x, y) = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x + \Delta x, y) - f(x, y)}{\Delta x} = \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$$
$$f_{y}^{'}(x, y) = \lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{f(x, y + \Delta y) - f(x, y)}{\Delta y} = \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}$$
偏導函數是二元函數，在求的過程中，將另一維的變量當作常量，然后根據一元函數導函數求法來求偏導函數。比如二元函數固定 $y$，只讓 $x$ 單
獨變化，從而看成是關於 $x$ 的一元函數的變化來研究。
雖然求偏導函數的時候將另一維變量當成常量，但其本身也是一個變量，所以將 $d$ 變成 $\partial$，表示多元函數求偏導。不同於一元，$\partial$ 沒有微分的含義，
只是一個記號，$\partial$ 或 $d$ 和其后面跟的變量是可分離的。
注意：$f_{x}^{'}$ 並不是代表對 $x$ 求偏導，而是相當於 $f_{1}^{'}$，由於不是復合函數，所以間接認為是對變量 $x$ 求偏導。
求某點偏導數的方法：
1）將該點代入偏導函數，可直接計算得到函數值
2）既然另一維變量在求偏導的過程中是看作常量的，則可將另一維變量值直接代入原函數，然后根據一元函數導數求法來求。
偏導數的幾何意義是曲線在某點的切線斜率，這個曲線是二元函數圖形張成的曲面與平面 $x = x_{0}$ 或 平面 $y = y_{0}$ 的交線。
偏導函數就是所有這樣的曲線的導函數所組成的曲面。可以想象：每條曲線位於每個不同的平面內，互不干擾，它們的導函數自然也位於自己所在
的平面內，互不干擾，然后每個平面上的導函數曲線的組合就會構成偏導函數的曲面。
但是由於曲面上一點的切線有無數條(實際上是個切面)，每一個切線都代表一個變化的方向，每個切線的斜率都代表一個方向的變化率。
但是如果我們想求任意一條曲線切線斜率怎么辦呢?這時候就引入了方向導數。
理解一下這個方向的含義：對 $x$ 或 $y$ 的偏導數其實是對 $x$ 軸方向或 $y$ 軸方向的偏導數，所以這個方向並不是切線方向，而是切線方向
在 $xoy$ 平面上投影后形成的射線方向，平面上射線方向和空間切線方向一一對應。也可以說：方向指的是 $xy$ 平面上的一個矢量。
方向導數定義：設函數 $f(x,y)$ 在平面上任意一點 $P(x,y)$ 的鄰域內有定義，自 $P$ 點引出一條射線 $l$，這個射線是空間中對應的切線方向
在 $xoy$ 平面上的投影，在 $l$ 上取一點 $(x + \Delta x, y + \Delta y)$，設該點到 $P$ 的距離為 $\rho$，則 $\rho = \sqrt{(\Delta x)^{2} + (\Delta y)^{2}}$，若極限
$$\lim_{\rho \rightarrow 0}\frac{f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x, y)}{\rho }$$
存在，則稱此極限值為 $f(x,y)$ 在點 $P$ 沿方向 $l$ 的方向導數，記為 $\frac{\partial f}{\partial l} $。
設 $l$ 與 $x$ 軸的夾角為 $\alpha$，則方向導數也可以寫成
$$\frac{\partial f}{\partial l} = \lim_{\rho \rightarrow 0}\frac{f(x + \rho \cdot cos\alpha ,\; y + \rho \cdot sin\alpha) - f(x, y)}{\rho } $$
由圖像可知
$$\cos \alpha = \frac{\Delta x}{\rho}= \frac{\Delta x}{\sqrt{(\Delta x)^{2} + (\Delta y)^{2}}}$$
$$\sin \alpha = \frac{\Delta y}{\rho}= \frac{\Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^{2} + (\Delta y)^{2}}}$$
要使任意方向的導數都存在，則函數在該點必須可微，根據增量表達式
$$f(x+\Delta x,y+\Delta y) - f(x,y) = A\cdot \Delta x + B\cdot \Delta y + o(\rho )$$
兩邊同時除以 $\rho$，並取極限，可得
$$\frac{\partial f}{\partial l} = \frac{\partial f}{\partial x}\cos \alpha + \frac{\partial f}{\partial y}\sin \alpha = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}) \cdot (\cos \alpha,\sin \alpha)$$
注：上述結果也可以通過洛必達法則來得到。
梯度：它是一個方向向量，是函數在某點無數個變化方向中變化最快的那個方向，也是方向導數最大的方向。通過上式可以發現，只要每一個
變量都沿着關於這個變量的偏導所指定的方向來變化，函數的整體變化就能達到最快(變化的絕對值最大)，梯度記為
$$gradz = (\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y})$$
注：因為梯度是正的最大值，所以梯度方向一定是函數上升的方向。
2. 全微分
先來看看一元微分給了我們什么啟示：
1）微分得是“直”的（這樣才能“代曲”），一元是直線，二元只能是平面。
2）微分和切線有關，一元微分就是切線，二元微分是由無數條切線張成的切平面。
所以要使二元的函數能夠微分，則每個點所有方向的切線必須都存在，並且都在一個平面，也叫切平面，這個微分可以提供對曲面很好的“線性近似”。
“線性逼近，以直代曲”是微積分的精髓所在。下面我們來看下全微分的定義。
函數 $z=f(x, y)$ 在點 $(x, y)$ 處的全增量為
$$\Delta z = f(x+\Delta x,y+\Delta y) - f(x,y)$$
如果全增量可以表示為
$$\Delta z = f(x+\Delta x,y+\Delta y) - f(x,y) = A\cdot \Delta x + B\cdot \Delta y + o(\rho ),\; \rho = \sqrt{(\Delta x)^{2} + (\Delta y)^{2}} \; and \; \rho \rightarrow 0$$
其中 $A,B$ 不依賴於 $\Delta x,\Delta y$，只與 $x,y$ 有關，則稱函數 $z=f(x, y)$ 在點 $(x, y)$ 處可微，全微分記為
$$dz = A\cdot \Delta x + B\cdot \Delta y$$
那這個 $A$ 和 $B$ 如何計算呢？
$$f(x+\Delta x,y+\Delta y) - f(x,y) = A\cdot \Delta x + B\cdot \Delta y + o(\rho ) \\
let \; \Delta y = 0 \\
f(x+\Delta x,y) - f(x,y) = A\cdot \Delta x + o(|\Delta x|) \\
both \; sizes \; divedes \; \Delta x \\
A = \frac{\partial f}{\partial x}$$
同理： $B = \frac{\partial f}{\partial y}$，又無窮小時 $\Delta x = dx,\; \Delta y = dy$，所以全微分為
$$dz = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy$$
