動態規划——最長公共子序列與最長公共子串 (含Python實現代碼)

• 英文名稱：

  • 最長公共子序列 Longest Common Subsequence
  • 最長公共子串 Longest Common Substring

• 主要區別：子串必須要連續，子序列不需要

  • 舉例： a b c d e f b 和 a b c x y b z
    • 最長公共子序列：a b c b
    • 最長公共子串：a b c

最長公共子序列

• 相關符號：字符串 X 與 Y。X_i 表示X在第i位上的字符(在這里X的第一位表示為1而不是0)，Y_j 同理。
  c[i][j]表示字符串X_1..i與Y_1..j的最長公共子序列的長度
• 遞推關系式

\[ c[i][j] = \left\{ \begin{array}{} 0 & {i = 0, j = 0}\\ c[i-1][j-1] + 1 & {X_i = Y_j}\\ MAX(c[i-1][j], c[i][j-1]) & {X_i \neq Y_j}\\ \end{array} \right. \]

• 參考代碼

def longest_common_subsequence(X: str, Y: str):
    index_x = len(X)+1  # columns
    index_y = len(Y)+1  # rows
    c = [['']*index_y for _ in range(index_x)]

    for i in range(index_x):
        for j in range(index_y):
            if i == 0 or j == 0:
                c[i][j] = ''
                continue
            if X[i-1] == Y[j-1]:
                c[i][j] = c[i-1][j-1] + X[i-1]
            else:
                if len(c[i-1][j]) > len(c[i][j-1]):
                    c[i][j] = c[i-1][j]
                else:
                    c[i][j] = c[i][j-1]

    return len(c[index_x-1][index_y-1]), c[index_x-1][index_y-1]

• 代碼說明: 此處的代碼在理論上做出了一些改動，二維數組c被用來存儲每個位置上存在的最長序列了，
  即 c[i][j] 存儲的是一個字符串而非長度。在遞推關系式上，第二項(X_i = Y_j 時) 改為 c[i-1][j-1] + X_i。
  這樣最后既可以得到最大的長度，也可以知道最長的序列是什么。

最長公共子串

• 相關符號: 字符串 X 與 Y，角標i，j。意義同上。 c[i][j]表示字符串X_1..i與Y_1..j的匹配時的最長子串。 current_lcs 表示整個運行過程中遇到的最長子串
• 遞推關系式

\[ c[i][j] = \left\{ \begin{array}{} Null & {i = 0, j = 0 \ OR\ X_i \neq Y_i}\\ c[i-1][j-1] + X_i & {X_i = Y_j}\\ \end{array} \right. \]

• 參考代碼

def longest_common_substring(X: str, Y: str):
    index_x = len(X) + 1  # columns
    index_y = len(Y) + 1  # rows
    c = [[''] * index_y for _ in range(index_x)]
    current_lcs = ''

    for i in range(index_x):
        for j in range(index_y):
            if i == 0 or j == 0 or X[i-1] != Y[j-1]:
                c[i][j] = ''
                continue
            if X[i-1] == Y[j-1]:
                c[i][j] = c[i-1][j-1] + X[i-1]
                if len(c[i][j]) > len(current_lcs):
                    current_lcs = c[i][j]

    return len(current_lcs), current_lcs