动态规划——最长公共子序列与最长公共子串 (含Python实现代码)

• 英文名称：

  • 最长公共子序列 Longest Common Subsequence
  • 最长公共子串 Longest Common Substring

• 主要区别：子串必须要连续，子序列不需要

  • 举例： a b c d e f b 和 a b c x y b z
    • 最长公共子序列：a b c b
    • 最长公共子串：a b c

最长公共子序列

• 相关符号：字符串 X 与 Y。X_i 表示X在第i位上的字符(在这里X的第一位表示为1而不是0)，Y_j 同理。
  c[i][j]表示字符串X_1..i与Y_1..j的最长公共子序列的长度
• 递推关系式

\[ c[i][j] = \left\{ \begin{array}{} 0 & {i = 0, j = 0}\\ c[i-1][j-1] + 1 & {X_i = Y_j}\\ MAX(c[i-1][j], c[i][j-1]) & {X_i \neq Y_j}\\ \end{array} \right. \]

• 参考代码

def longest_common_subsequence(X: str, Y: str):
    index_x = len(X)+1  # columns
    index_y = len(Y)+1  # rows
    c = [['']*index_y for _ in range(index_x)]

    for i in range(index_x):
        for j in range(index_y):
            if i == 0 or j == 0:
                c[i][j] = ''
                continue
            if X[i-1] == Y[j-1]:
                c[i][j] = c[i-1][j-1] + X[i-1]
            else:
                if len(c[i-1][j]) > len(c[i][j-1]):
                    c[i][j] = c[i-1][j]
                else:
                    c[i][j] = c[i][j-1]

    return len(c[index_x-1][index_y-1]), c[index_x-1][index_y-1]

• 代码说明: 此处的代码在理论上做出了一些改动，二维数组c被用来存储每个位置上存在的最长序列了，
  即 c[i][j] 存储的是一个字符串而非长度。在递推关系式上，第二项(X_i = Y_j 时) 改为 c[i-1][j-1] + X_i。
  这样最后既可以得到最大的长度，也可以知道最长的序列是什么。

最长公共子串

• 相关符号: 字符串 X 与 Y，角标i，j。意义同上。 c[i][j]表示字符串X_1..i与Y_1..j的匹配时的最长子串。 current_lcs 表示整个运行过程中遇到的最长子串
• 递推关系式

\[ c[i][j] = \left\{ \begin{array}{} Null & {i = 0, j = 0 \ OR\ X_i \neq Y_i}\\ c[i-1][j-1] + X_i & {X_i = Y_j}\\ \end{array} \right. \]

• 参考代码

def longest_common_substring(X: str, Y: str):
    index_x = len(X) + 1  # columns
    index_y = len(Y) + 1  # rows
    c = [[''] * index_y for _ in range(index_x)]
    current_lcs = ''

    for i in range(index_x):
        for j in range(index_y):
            if i == 0 or j == 0 or X[i-1] != Y[j-1]:
                c[i][j] = ''
                continue
            if X[i-1] == Y[j-1]:
                c[i][j] = c[i-1][j-1] + X[i-1]
                if len(c[i][j]) > len(current_lcs):
                    current_lcs = c[i][j]

    return len(current_lcs), current_lcs