給定一個序列，找出其中最長的，嚴格遞增的子序列的長度（不要求連續）。
解法一：動態規划
通過一個輔助數組記錄每一個元素處的最大序列長度（在必須選這個元素的前提下），然后在坐標小於當前元素的數組掃描，在值小於當前元素的集合中選出最大值即為當前元素處的最大子序列。狀態轉移方程：
dp[i] = max(1, max(dp[j]+1, j<i, nums[j]<nums[i])
class Solution:
def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:
dp = [] # 用於存儲每一個元素處的最大序列的長度
n = len(nums)
max_ = 0
for i in range(n):
tmp = 1
for j in range(0,i):
if nums[j]<nums[i]:
tmp = max(tmp,1+dp[j])
dp.append(tmp)
if max_ < tmp:
max_ = tmp
return max_
解法2：貪心算法
class Solution:
def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:
n = len(nums)
if n == 0:
return 0
dp = [nums[0]]
for i in range(1,n):
if nums[i] > dp[-1]:
dp.append(nums[i])
continue
l,r = 0, len(dp)-1
while l < r:
mid = (l+r-1)//2
if dp[mid] < nums[i]:
l = mid + 1
else:
r = mid
dp[l] = nums[i]
return len(dp)
2. 最長公共子序列
兩個數組中，最長的相等的子序列（不要求連續）。
解法1：動態規划
以兩個字符串為例：
str1 = 1a2b3c
str2 = 123abc
| 1 | a | 2 | b | 3 | c | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 |
| 3 | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 |
| a | 1 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 |
| b | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 |
| c | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 |
從上表可以看出：
-
當str1[i] = str2[j]時，此時的最大子序列長度應該等於左上角的值加上1（當i=0時為1，因為此時沒有左上角）；
-
當str1[i] != str2[j]時，此時的最大子序列長度為上方和左方的最大值（當i=0時直接為上方的值）
class LCS:
def findLCS(self, A, n, B, m):
dp1 = [0 for i in range(n)] #
for i in range(m):
dp2 = [0 for each in range(n)]
for j in range(n):
if B[i] == A[j]:
dp2[j] = dp1[j-1]+1 if j>0 else 1
else:
dp2[j] = max(dp2[j-1],dp1[j]) if j>0 else dp1[j]
dp1 = dp2
return dp2[-1]
3. 最長公共子串
最長公共子串：兩個字符串中連續相等的最長子串。
解法一：動態規划
class LongestSubstring:
def findLongest(self, A, n, B, m):
dp = [[0 for i in range(n)] for j in range(m)]
max_ = 0
for i in range(m):
for j in range(n):
if B[i] == A[j]:
if i>0 and j >0:
dp[i][j]=dp[i-1][j-1] +1
else:
dp[i][j] = 1
if dp[i][j]>max_:
max_=dp[i][j]
return max_