一.最長公共子序列問題(LCS問題)
給定兩個字符串A和B，長度分別為m和n，要求找出它們最長的公共子序列，並返回其長度。例如：
A = "HelloWorld"
B = "loop"
則A與B的最長公共子序列為 "loo",返回的長度為3。此處只給出動態規划的解法：定義子問題dp[i][j]為字符串A的第一個字符到第 i 個字符串和字符串B的第一個字符到第 j 個字符的最長公共子序列，如A為“app”,B為“apple”，dp[2][3]表示 “ap” 和 “app” 的最長公共字串。注意到代碼中 dp 的大小為 (n + 1) x (m + 1) ，這多出來的一行和一列是第 0 行和第 0 列，初始化為 0，表示空字符串和另一字符串的子串的最長公共子序列，例如dp[0][3]表示 "" 和 “app” 的最長公共子串。
class LCS
{
public:
int findLCS(string A, int n, string B, int m)
{
if(n == 0 || m == 0)//特殊輸入
return 0;
int dp[n + 1][m + 1];//定義狀態數組
for(int i = 0 ; i <= n; i++)//初始狀態
dp[i][0] = 0;
for(int i = 0; i <= m; i++)
dp[0][i] = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j<= m; j++)
{
if(A[i - 1] == B[j - 1])//判斷A的第i個字符和B的第j個字符是否相同
dp[i][j] = dp[i -1][j - 1] + 1;
else
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j],dp[i][j - 1]);
}
return dp[n][m];//最終的返回結果就是dp[n][m]
}
};
該算法的時間復雜度為O(n*m)，空間復雜度為O(n*m)。此外，由於遍歷時是從下標1開始的，因為下標為0表示空字符串；所以第A的第i個字符實際上為A[i -1]，B的第j個字符為B[j-1]。
二.最長公共子串問題
給定兩個字符串A和B，長度分別為m和n，要求找出它們最長的公共子串，並返回其長度。例如：
A = "HelloWorld"
B = "loop"
則A與B的最長公共子串為 "lo",返回的長度為2。我們可以看到子序列和子串的區別：子序列和子串都是字符集合的子集，但是子序列不一定連續，但是子串一定是連續的。同樣地，這里只給出動態規划的解法：定義dp[i][j]表示以A中第i個字符結尾的子串和B中第j個字符結尾的子串的的最大公共子串(公共子串實際上指的是這兩個子串的所有部分)的長度(要注意這里和LCS的不同，LCS中的dp[i+1][j+1]一定是大於等於dp[i][j]的；但最長公共子串問題就不一定了，它的dp[i][j]表示的子串不一定是以A[0]開頭B[0]開頭的，但是一定是以A[i-1]、B[j-1]結尾的)，同樣地， dp 的大小也為 (n + 1) x (m + 1) ，這多出來的一行和一列是第 0 行和第 0 列，初始化為 0，表示空字符串和另一字符串的子串的最長公共子串。
當我們要求dp[i][j]，我們要先判斷A的第i個元素B的第j個元素是否相同即判斷A[i - 1]和 B[j -1]是否相同，如果相同它就是dp[i - 1][j- 1] + 1，相當於在兩個字符串都去掉一個字符時的最長公共子串再加 1；否則最長公共子串取0。所以整個問題的初始狀態為：
$$ dp[i][0] =0 , dp[0][j] = 0$$
class LongestSubstring {
public:
int findLongest(string A, int n, string B, int m) {
if(n == 0 || m == 0)
return 0;
int rs = 0;
int dp[n + 1][m + 1];
for(int i = 0 ; i <= n; i++)//初始狀態
dp[i][0] = 0;
for(int i = 0; i <= m; i++)
dp[0][i] = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j<= m; j++)
{
if(A[i - 1] == B[j - 1])
{
dp[i][j] = dp[i -1][j - 1] + 1;
rs = max(rs,dp[i][j]);//每次更新記錄最大值
}
else//不相等的情況
dp[i][j] = 0;
}
return rs;//返回的結果為rs
}
};
該算法的時間復雜度為O(n*m)，空間復雜度為O(n*m)。同樣地，遍歷下標也是從1開始的。不過關於最長公共子串問題，有幾點需要注意下：
1.由於dp[i][j]不像LCS是個遞增的數組，所以它在每次更新時需要同時更新最大值rs，且最后返回的結果是rs。而LCS中返回的直接就是dp[n][m]。
2.從代碼上來看，兩者的結構其實差不多，只不過狀態轉移方程有些小許的不同，分析過程也類似。
3.另外，關於這量兩種問題還有更優的解法，不過本文主要是DP的思想去解決，當然其中還有對DP的優化，不過此處不再詳述。
參考：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/c996bbb77dd447d681ec6907ccfb488a