動態規划1--最長公共子序列

一、動態規划

經常會遇到復雜問題不能簡單地分解成幾個子問題，而會分解出一系列的子問題。簡單地采用把大問題分解成子問題，並
綜合子問題的解導出大問題的解的方法，問題求解耗時會按問題規模呈冪級數增加。

為了節約重復求相同子問題的時間，引入一個數組，不管它們是否對最終解有用，把所有子問題的解存於該數組中，這就
是動態規划法所采用的基本方法。

二、心得

遞推公式的推導

遞推公式的證明方法

代碼的寫法：把遞推公式直接寫進代碼即可

 

三、題目

給出兩個字符串，求出這樣的一個最長的公共子序列的長度：子序列中的每個字符都能在兩個原串中找到，而且每個字符的先后順序和原串中的先后順序一致。

Sample Input：樣例輸入

abcfbc abfcab

programming contest

abcd mnp

Sample Output：樣例輸出

4
2
0

 

四、分析

 

 

2、證明
S1[i-1]!= s2[j-1]時，MaxLen(S1,S2)不會比MaxLen(S1,S2j-1)
和MaxLen(S1i-1,S2)兩者之中任何一個小，也不會比兩者都大。
（1）不比任何一個小：MaxLen(S1,S2)字符串長於后兩者
（2）也不會比兩者都大：反證法，假設比兩者都大：

若MaxLen(S1,S2)比MaxLen(S1,S2j-1)大，說明S2(j)這個字符與S1中的字符相等，並且S2(j)和這個相等的字符是最長公共子序列的最后一個。

若MaxLen(S1,S2)比MaxLen(S1i-1,S2)大，說明S1(i)這個字符與S2中的字符相等，並且S1(i)和這個相等的字符是最長公共子序列的最后一個。

上面兩種情況都是最長公共子序列的最后一個，而這個最長公共子序列是MaxLen(S1,S2)的最長公共子序列，所以最后一個要相等。

那會得出S1[i]== s2[j]的結論，與假設沖突。

 

五、代碼及結果

/*
最長公共子序列 
1、遞推公式：
（分最后一個相同和最后一個不同來分析） 
當i或j等於0，MaxLen(i,j)==0;
當s1和s2的最后一個字符相同時，MaxLen(i,j)=MaxLen(i-1,j-1)+1;
當s1和s2的最后一個字符不同時，MaxLen(i,j) = Max(MaxLen(i,j-1),MaxLen(i-1,j) ); 
2、證明 
S1[i-1]!= s2[j-1]時，MaxLen(S1,S2)不會比MaxLen(S1,S2j-1)
和MaxLen(S1i-1,S2)兩者之中任何一個小，也不會比兩者都大。
（1）不比任何一個小：MaxLen(S1,S2)字符串長於后兩者
（2）也不會比兩者都大：反證法，假設比兩者都大，那會得出S1[i-1]== s2[j-1]的結論，與假設沖突 
3、代碼
直接寫遞推公式就好了 
*/
/*
錯誤一：結果不對
for(j=1;j<=length2;j++)，漏了等號，所以都沒執行到這來，所以結果不對 
*/
#include <iostream>
#include <cstring> 
using namespace std;
char sz1[1000];//字符數組1 
char sz2[1000];//字符數組2 
int maxLen[1000][1000];
//MaxLen(i,j)表示s1的左邊i個字符形成的子串，
//與s2左邊的j個字符形成的子串的最長公共子序列的長度(i,j從0開始算） 
int main(){
    freopen("in.txt","r",stdin); 
    while(cin>>sz1>>sz2){
        int length1=strlen(sz1);//求字符數組1的長度 
        int length2=strlen(sz2);//求字符數組2的長度
        int nTmp;
        int i,j;
        //初始化邊界情況 
        for(i=0;i<=length1;i++)
            maxLen[i][0]=0;
        for(j=0;j<=length2;j++)
            maxLen[0][j]=0; 
        //動態規划求解最長公共子序列  
        for(i=1;i<=length1;i++){
            for(j=1;j<=length2;j++){
                if(sz1[i-1]==sz2[j-1]){//字符數組從0開始存數據的 
                    //當s1和s2的最后一個字符相同時，MaxLen(i,j)=MaxLen(i-1,j-1)+1; 
                    maxLen[i][j]=maxLen[i-1][j-1]+1;
                }    
                else{
                    //當s1和s2的最后一個字符不同時，MaxLen(i,j) = Max(MaxLen(i,j-1),MaxLen(i-1,j) );  
                     maxLen[i][j]=max(maxLen[i][j-1],maxLen[i-1][j]);
                }
            } 
                        
        }
        /*
        for(i=1;i<=length1;i++){
            for(j=1;j<=length2;j++){
                cout<<maxLen[i][j]<<" ";
            }
            cout<<endl;
        }
        */ 
        //cout<<length1<<" "<<length2<<endl;
        cout<<maxLen[length1][length2]<<endl;
    }
    return 0;
}