動態規划 最長公共子序列 過程圖解


1.基本概念

      首先需要科普一下,最長公共子序列(longest common sequence)和最長公共子串(longest common substring)不是一回事兒。什么是子序列呢?即一個給定的序列的子序列,就是將給定序列中零個或多個元素去掉之后得到的結果。什么是子串呢?給定串中任意個連續的字符組成的子序列稱為該串的子串。給一個圖再解釋一下:

 

 

如上圖,給定的字符序列: {a,b,c,d,e,f,g,h},它的子序列示例: {a,c,e,f} 即元素b,d,g,h被去掉后,保持原有的元素序列所得到的結果就是子序列。同理,{a,h},{c,d,e}等都是它的子序列。
       它的字串示例:{c,d,e,f} 即連續元素c,d,e,f組成的串是給定序列的字串。同理,{a,b,c,d},{g,h}等都是它的字串。

        這個問題說明白后,最長公共子序列(以下都簡稱LCS)就很好理解了。
給定序列s1={1,3,4,5,6,7,7,8},s2={3,5,7,4,8,6,7,8,2},s1和s2的相同子序列,且該子序列的長度最長,即是LCS。
s1和s2的其中一個最長公共子序列是 {3,4,6,7,8}

2.動態規划

       求解LCS問題,不能使用暴力搜索方法。一個長度為n的序列擁有 2的n次方個子序列,它的時間復雜度是指數階,太恐怖了。解決LCS問題,需要借助動態規划的思想。
       動態規划算法通常用於求解具有某種最優性質的問題。在這類問題中,可能會有許多可行解。每一個解都對應於一個值,我們希望找到具有最優值的解。動態規划算法與分治法類似,其基本思想也是將待求解問題分解成若干個子問題,先求解子問題,然后從這些子問題的解得到原問題的解。與分治法不同的是,適合於用動態規划求解的問題,經分解得到子問題往往不是互相獨立的。若用分治法來解這類問題,則分解得到的子問題數目太多,有些子問題被重復計算了很多次。如果我們能夠保存已解決的子問題的答案,而在需要時再找出已求得的答案,這樣就可以避免大量的重復計算,節省時間。我們可以用一個表來記錄所有已解的子問題的答案。不管該子問題以后是否被用到,只要它被計算過,就將其結果填入表中。這就是動態規划法的基本思路。

3.特征分析

       解決LCS問題,需要把原問題分解成若干個子問題,所以需要刻畫LCS的特征。

       設A=“a0,a1,…,am”,B=“b0,b1,…,bn”,且Z=“z0,z1,…,zk”為它們的最長公共子序列。不難證明有以下性質:
       如果am=bn,則zk=am=bn,且“z0,z1,…,z(k-1)”是“a0,a1,…,a(m-1)”和“b0,b1,…,b(n-1)”的一個最長公共子序列;
       如果am!=bn,則若zk!=am,蘊涵“z0,z1,…,zk”是“a0,a1,…,a(m-1)”和“b0,b1,…,bn”的一個最長公共子序列;
       如果am!=bn,則若zk!=bn,蘊涵“z0,z1,…,zk”是“a0,a1,…,am”和“b0,b1,…,b(n-1)”的一個最長公共子序列。

       有些同學,一看性質就容易暈菜,所以我給出一個圖來讓這些同學理解一下:

 

 

以我在第1小節舉的例子(S1={1,3,4,5,6,7,7,8}和S2={3,5,7,4,8,6,7,8,2}),並結合上圖來說:

       假如S1的最后一個元素 與 S2的最后一個元素相等,那么S1和S2的LCS就等於 {S1減去最后一個元素} 與 {S2減去最后一個元素} 的 LCS  再加上 S1和S2相等的最后一個元素。

       假如S1的最后一個元素 與 S2的最后一個元素不等(本例子就是屬於這種情況),那么S1和S2的LCS就等於 : {S1減去最后一個元素} 與 S2 的LCS, {S2減去最后一個元素} 與 S1 的LCS 中的最大的那個序列。

4.遞歸公式

        第3節說了LCS的特征,我們可以發現,假設我需要求 a1 ... am 和 b1 .. b(n-1)的LCS 和 a1 ... a(m-1) 和 b1 .. bn的LCS,一定會遞歸地並且重復地把如a1... a(m-1) 與 b1 ... b(n-1) 的 LCS 計算幾次。所以我們需要一個數據結構來記錄中間結果,避免重復計算。

        假設我們用c[i,j]表示Xi 和 Yj 的LCS的長度(直接保存最長公共子序列的中間結果不現實,需要先借助LCS的長度)。其中X = {x1 ... xm},Y ={y1...yn},Xi = {x1 ... xi},Yj={y1... yj}。可得遞歸公式如下:

 

 

5.計算LCS的長度

       這里我不打算貼出相應的代碼,只想把這個過程說明白。還是以s1={1,3,4,5,6,7,7,8},s2={3,5,7,4,8,6,7,8,2}為例。我們借用《算法導論》中的推導圖:

 

 

圖中的空白格子需要填上相應的數字(這個數字就是c[i,j]的定義,記錄的LCS的長度值)。填的規則依據遞歸公式,簡單來說:如果橫豎(i,j)對應的兩個元素相等,該格子的值 = c[i-1,j-1] + 1。如果不等,取c[i-1,j] 和 c[i,j-1]的最大值。首先初始化該表:

 

 

然后,一行一行地從上往下填:

 

 

S1的元素3 與 S2的元素3 相等,所以 c[2,1] = c[1,0] + 1。繼續填充:

 

 

 S1的元素3 與 S2的元素5 不等,c[2,2] =max(c[1,2],c[2,1]),圖中c[1,2] 和 c[2,1] 背景色為淺黃色。

            繼續填充:

 

 

 

 

 

 

中間幾行填寫規則不變,直接跳到最后一行:

 

 

至此,該表填完。根據性質,c[8,9] = S1 和 S2 的 LCS的長度,即為5。

6.構造LCS

       本文S1和S2的最LCS並不是只有1個,本文並不是着重講輸出兩個序列的所有LCS,只是介紹如何通過上表,輸出其中一個LCS。

       我們根據遞歸公式構建了上表,我們將從最后一個元素c[8][9]倒推出S1和S2的LCS。

       c[8][9] = 5,且S1[8] != S2[9],所以倒推回去,c[8][9]的值來源於c[8][8]的值(因為c[8][8] > c[7][9])。

       c[8][8] = 5,  且S1[8] = S2[8], 所以倒推回去,c[8][8]的值來源於 c[7][7]。

       以此類推,如果遇到S1[i] != S2[j] ,且c[i-1][j] = c[i][j-1] 這種存在分支的情況,這里請都選擇一個方向(之后遇到這樣的情況,也選擇相同的方向)。

       第一種結果為:

 

 

這就是倒推回去的路徑,棕色方格為相等元素,即LCS = {3,4,6,7,8},這是其中一個結果。

          如果如果遇到S1[i] != S2[j] ,且c[i-1][j] = c[i][j-1] 這種存在分支的情況,選擇另一個方向,會得到另一個結果。

 

 

 即LCS ={3,5,7,7,8}。

 


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