動態規划解決最長公共子序列問題

最長公共子序列問題又稱LCS問題（longest common subsequence problem）

 問題描述：

給你兩個字符串str1和str2，它們之間可能存在公有子序列，子序列和子串的區別是：子序列不要求連續，只需要按照順序出現就好，子串則要求連續：

例如：SIMPLE和NAIVE有共同的子序列IE，但是沒有共同的子串。

      TOO SIMPLE和TOO YOUNG則有共同子串TOO

 

LCS問題就是(1)求出最長公有子序列的長度(2)求出最長公有子序列。

 

(1) 求出最長公有子序列的長度

解法考慮動態規划，用一個二維數組L [m][n]存狀態， L [i][j]的含義是str1前i項和str2的前j項最長的公共子序列的長度。

寫出狀態轉移方程：

第二個式子比較好理解，

第三個我是這么理解的,本應該是求：

可是很顯然第三項是最小的，所以省略了。

 

(2)輸出一個LCS

從狀態表右下角開始往前回溯，當前字符相等，則存入結果字符串，當前字符不相等，比較狀態表上方與左方的值，並移動到最大值位置，重復上述步驟，直到到達邊界。反序輸出結果字符串。

 

上代碼：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
int LCS(char*a,char*b){
    int m=strlen(a);
    int n=strlen(b);
    int L[m][n];
    int i,j;
    char res[20];
    int k=0;
        
    for(i=0;i<m;i++){
        for(j=0;j<n;j++){
            if(i==0||j==0){
                L[i][j]=0;      //case 1     
            }else{
                if(a[i]==b[j]){
                    L[i][j]=L[i-1][j-1]+1;  //case 2
                }else{
                    L[i][j]=L[i-1][j]>L[i][j-1]?L[i-1][j]:L[i][j-1]; // case 3
                }    
            }
            printf("%d ",L[i][j]);    
        }
        printf("\n");
    }
    
    for(i=m-1,j=n-1;i>=0&&j>=0;){
        if(a[i]==b[j]){
            res[k++]=a[i];
            i--;
            j--;
            
        }else{
            if(L[i-1][j]>L[i][j-1]){
                i--;
            }else{
                j--;
            }    
        }
    }

    printf("\nLCS:");
    for(i=strlen(res)-1;i>=0;i--){
        printf("%c",res[i]);
    }
    printf("\n");
        
    return L[m-1][n-1];    
}
int main(){
    char str1[50];
    char str2[50];
    strcpy(str1,"SIMPLE");
    strcpy(str2,"NAIVE");
    int ret;
    
    ret=LCS(str1,str2);
    printf("length of LCS:%d\n",ret);
    return 0;
}