最長公共子序列--動態規划求解

本文鏈接：https://www.cnblogs.com/chenleideblog/p/10455723.html

問題：例如：X={A,B,C,B,A,D,B}，Y={B,C,B,A,A,C}，那么，二者的最長公共子序列是{B,C,B,A}，長度為4。

我們首先需要搞清楚以下兩個概念：

最長公共子序列 VS 最長公共子串：

找兩個字符串的最長公共子串，這個子串要求在原字符串中是連續的。而最長公共子序列則並不要求連續。

上述問題中的最長公共子序列與最長公共子串是一樣的。

但是再舉例X={A,B,C,B,A,D,B}，Y={B,C,B,A,A,B}，二者的最長公共子序列是{B,C,B,A,B}，而二者的最長公共子串是{B,C,B,A}。

 

求解思路：

1.分析最優解的結構特征：

設Zk={z1,z2,z3,......zk}是Xm={x1,x2,x3,......xm}和Yn={y1,y2,y3,......yn}的最長公共子序列。

則可以得到：

若xm=yn=zk，那么Zk-1={z1,z2,z3,......zk-1}是Xm-1={x1,x2,x3,......xm-1}和Yn-1={y1,y2,y3,......yn-1}的最長公共子序列；

若xm≠yn，xm≠zk，則去除xm后，Zk={z1,z2,z3,......zk}仍然是Xm-1={x1,x2,x3,......xm-1}和Yn={y1,y2,y3,......yn}的最長公共子序列；

若xm≠yn，yn≠zk，則去除yn后，Zk={z1,z2,z3,......zk}仍然是Xm={x1,x2,x3,......xm}和Yn-1={y1,y2,y3,......yn-1}的最長公共子序列；

2.建立最優值的遞歸式

數據結構選擇：

用c[i][j]表示Xi和Yj的最長公共子序列長度（這一步很關鍵，越到右下角，值會越來越大，我們最后只需要選取右下角的值就可以確定最長公共子序列的長度）

討論：

若xi=yj=zk，那么c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1；

若xi≠yj，xi≠zk，那么Xi需要進一步縮小一個長度進行匹配，即去除xi不影響整體的最長子序列變化，c[i][j] = c[i-1][j] ；

若xi≠yj，yj≠zk，那么Yj需要進一步縮小一個長度進行匹配，即去除yj不影響整體的最長子序列變化，c[i][j] = c[i][j-1] ；

結束條件，若i=0或者j=0，則c[i][j]=0。

所以，在xi≠yj的情況下，有兩種情況，c[i][j]必等於兩種情況下的最大值，即c[i][j] = max(c[i-1][j], c[i][j-1])

 

3.自底向上計算最優值，並記錄最優值與最優策略

我們由上面可以知道，c[0][j]=0或者c[i][0]=0.

先使i = 1，則求x1與{y1,y2,y3,......yn}逐一比較。如圖，x1≠y1，執行c[1][1] = max(c[0][1], c[1][0])  =0，接着，x1=y2，則執行，c[1][2] = c[0][1] + 1=1 ，接着，x1≠y3，則執行c[1][3] = max(c[0][3], c[1][2])  =1，......這樣就求出了X1與Yn的最長公共子序列長度；

 

然后，i = 2，則建立在x1比較的基礎上就可以求出{x1,x2}與{y1,y2,y3,......yn}的最長公共子序列長度；

 

然后，i = 3，建立在{x1,x2}的基礎上，則可以求出{x1,x2,x3}與{y1,y2,y3,......yn}的最長公共子序列長度；

......

然后，i = m，建立在{x1,x2,......xm-1}的基礎上，則可以求出{x1,x2,......xm-1}與{y1,y2,y3,......yn}的最長公共子序列長度；

4.構造最優解

在知道了最長公共子序列的長度之后，我們還需要知道最長公共子序列中都是哪些元素。我們在c[i][j]數組的右下角能夠得到最長公共子序列的長度，那么，我們可以反向推出這個元素分別是什么。

由上述，我們可以得到：

若xi=yj=zk，c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1；

若xi≠yj，xi≠zk，c[i][j] = c[i-1][j] ；

若xi≠yj，yj≠zk，c[i][j] = c[i][j-1] ；

所以，c[i][j]由上述三個等式中的一個得到，那么我們只需要記錄下c[i][j]是從三個等式中哪一個得到的，那么對應的元素我們就知道了。

這樣，我們就必須在借助一個數組就行保存了，我們建立新的數組b[i][j]來記錄是從哪個等式中得到，即構造出下列結構。

若xi=yj=zk，c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1，則b[i][j] = 1，那么我們就可以取出xi或者yj作為最長公共子序列中的元素；

若xi≠yj，yj≠zk，c[i][j] = c[i][j-1]，則b[i][j] = 2，那么我們就可以去追蹤c[i][j-1]；

若xi≠yj，xi≠zk，c[i][j] = c[i-1][j] ，則b[i][j] = 3，那么我們就可以去追蹤c[i-1][j]；

追蹤到i=0或者j=0，停止，如下圖則是根據c[i][j]取值的來源將b[i][j]數組補充完整

下圖為兩個序列的最終比較情況：我們由上述構造b[i][j]的方法得知，若 b[i][j]= 2，那么我們去追蹤c[i][j-1]，若b[i][j]= 3，那么我們去追蹤c[i-1][j]，換言之，就是b[i][j]= 2，就往左找，b[i][j]= 3，就往右找，若b[i][j]= 1，就可以輸出此時的xi或者yj；

 

上面圖片全部來自於 陳小玉老師的《趣學算法》，很好的一本書，值得大家看。

 

上述的思路理解清楚了，我們就可以上代碼了，代碼如下：

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N=1024;
int c[N][N],b[N][N];
char s1[N],s2[N];
int len1,len2;
void LCS()
{
    for(int i = 1; i <= len1; i++){
        for(int j = 1; j <= len2; j++){
            if(s1[i-1] == s2[j-1]){ //注：此處的s1與s2序列是從s1[0]與s2[0]開始的
                c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
                b[i][j] = 1;
            }
            else{
                if(c[i][j-1] >= c[i-1][j]){
                    c[i][j] = c[i][j-1];
                    b[i][j] = 2;
                }
                else{
                    c[i][j] = c[i-1][j];
                    b[i][j] =3;
                }
            }
        }
    }
}

void LCS_PRINT(int i, int j)
{
    if(i==0 || j==0){
        return;
    }
    if(b[i][j] == 1){
        LCS_PRINT(i-1,j-1);
        cout << s1[i-1];
    }
    else if(b[i][j] == 2){
        LCS_PRINT(i,j-1);
    }
    else{
        LCS_PRINT(i-1,j);
    }
}

int main()
{
    cout << "請輸入X字符串" << endl;
    cin >> s1;
    cout << "請輸入Y字符串" << endl;
    cin >> s2;
    len1 = strlen(s1);
    len2 = strlen(s2);
    for(int i = 0; i <= len1; i++){
        c[i][0] = 0;
    }
    for(int j = 0; j <= len2; j++){
        c[0][j] = 0;
    }
    LCS();
    cout << "s1與s2的最長公共子序列的長度是：" << c[len1][len2] <<endl;
    cout << "s1與s2的最長公共子序列是：";
    LCS_PRINT(len1,len2);
    return 0;
}