算法設計與分析/動態規划——最長公共子序列LCS及模板

摘自 https://www.cnblogs.com/hapjin/p/5572483.html

這位大佬寫的對理解DP也很有幫助，我就直接摘抄過來了，代碼部分來自我做過的題

 

一，問題描述

給定兩個字符串，求解這兩個字符串的最長公共子序列（Longest Common Sequence）。比如字符串1：BDCABA；字符串2：ABCBDAB

則這兩個字符串的最長公共子序列長度為4，最長公共子序列是：BCBA

二，算法求解

這是一個動態規划的題目。對於可用動態規划求解的問題，一般有兩個特征：①最優子結構；②重疊子問題

①最優子結構

設 X=(x1,x2,.....xn) 和 Y={y1,y2,.....ym} 是兩個序列，將 X 和 Y 的最長公共子序列記為LCS(X,Y)

找出LCS(X,Y)就是一個最優化問題。因為，我們需要找到X 和 Y中最長的那個公共子序列。而要找X 和 Y的LCS，首先考慮X的最后一個元素和Y的最后一個元素。

1）如果 xn=ym，即X的最后一個元素與Y的最后一個元素相同，這說明該元素一定位於公共子序列中。因此，現在只需要找：LCS(X_n-1，Y_m-1)

LCS(X_n-1，Y_m-1)就是原問題的一個子問題。為什么叫子問題？因為它的規模比原問題小。（小一個元素也是小嘛....）

為什么是最優的子問題？因為我們要找的是X_n-1 和 Y_m-1 的最長公共子序列啊。。。最長的！！！換句話說，就是最優的那個。（這里的最優就是最長的意思）

2）如果xn != ym，這下要麻煩一點，因為它產生了兩個子問題：LCS(X_n-1，Y_m) 和 LCS(X_n，Y_m-1)

因為序列X 和 序列Y 的最后一個元素不相等嘛，那說明最后一個元素不可能是最長公共子序列中的元素嘛。（都不相等了，怎么公共嘛）。

LCS(X_n-1，Y_m)表示：最長公共序列可以在(x1,x2,....x(n-1)) 和 (y1,y2,...yn)中找。

LCS(X_n，Y_m-1)表示：最長公共序列可以在(x1,x2,....xn) 和 (y1,y2,...y(n-1))中找。

求解上面兩個子問題，得到的公共子序列誰最長，那誰就是 LCS（X,Y）。用數學表示就是：

LCS=max{LCS(X_n-1，Y_m)，LCS(X_n，Y_m-1)}

由於條件 1)  和  2)  考慮到了所有可能的情況。因此，我們成功地把原問題 轉化 成了 三個規模更小的子問題。

 

②重疊子問題

重疊子問題是啥？就是說原問題 轉化 成子問題后，  子問題中有相同的問題。咦？我怎么沒有發現上面的三個子問題中有相同的啊？？？？

OK，來看看，原問題是：LCS(X,Y)。子問題有 ❶LCS(X_n-1，Y_m-1)    ❷LCS(X_n-1，Y_m)    ❸LCS(X_n，Y_m-1)

初一看，這三個子問題是不重疊的。可本質上它們是重疊的，因為它們只重疊了一大部分。舉例：

第二個子問題：LCS(X_n-1，Y_m) 就包含了：問題❶LCS(X_n-1，Y_m-1)，為什么？

因為，當X_n-1 和 Y_m 的最后一個元素不相同時，我們又需要將LCS(X_n-1，Y_m)進行分解：分解成：LCS(X_n-1，Y_m-1) 和 LCS(X_n-2，Y_m)

也就是說：在子問題的繼續分解中，有些問題是重疊的。

 

由於像LCS這樣的問題，它具有重疊子問題的性質，因此：用遞歸來求解就太不划算了。因為采用遞歸，它重復地求解了子問題啊。而且注意哦，所有子問題加起來的個數 可是指數級的哦。。。。

這篇文章中就演示了一個遞歸求解重疊子問題的示例。

那么問題來了，你說用遞歸求解，有指數級個子問題，故時間復雜度是指數級。這指數級個子問題，難道用了動態規划，就變成多項式時間了？？

呵呵噠。。。。

關鍵是采用動態規划時，並不需要去一 一 計算那些重疊了的子問題。或者說：用了動態規划之后，有些子問題 是通過 “查表“ 直接得到的，而不是重新又計算一遍得到的。廢話少說：舉個例子吧！比如求Fib數列。關於Fib數列，可參考：

求fib(5)，分解成了兩個子問題：fib(4) 和 fib(3)，求解fib(4) 和 fib(3)時，又分解了一系列的小問題....

從圖中可以看出：根的左右子樹：fib(4) 和 fib(3)下，是有很多重疊的！！！比如，對於 fib(2)，它就一共出現了三次。如果用遞歸來求解，fib(2)就會被計算三次，而用DP(Dynamic Programming)動態規划，則fib(2)只會計算一次，其他兩次則是通過”查表“直接求得。而且，更關鍵的是：查找求得該問題的解之后，就不需要再繼續去分解該問題了。而對於遞歸，是不斷地將問題分解，直到分解為 基准問題(fib(1) 或者 fib(0))

 

說了這么多，還是要寫下最長公共子序列的遞歸式才完整。借用網友的一張圖吧：）

 

c[i,j]表示：(x1,x2....xi) 和 (y1,y2...yj) 的最長公共子序列的長度。（是長度哦，就是一個整數嘛）。公式的具體解釋可參考《算法導論》動態規划章節

 

這張DP表很是重要，從中我們可以窺見最長公共子序列的來源，同時可以根據這張表打印出最長公共子序列的構成路徑

三，最長公共子序列模板

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1000;
char a[N],b[N];
int dp[N][N];
int main()
{
    int lena,lenb,i,j;
    while(scanf("%s%s",a,b)!=EOF)
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        lena=strlen(a);
        lenb=strlen(b);
        for(i=1;i<=lena;i++)
        {
            for(j=1;j<=lenb;j++)
            {
                if(a[i-1]==b[j-1])
                {
                    dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
                }
                else
                {
                    dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
                }
            }
        }
        printf("%d\n",dp[lena][lenb]);
    }
    return 0;
}

 

最長公共子序列打印路徑的模板

遞歸法：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
char x[N],y[N];
int dp[N][N];
int b[N][N];
void Print(int i,int j)
{
    if(i==0||j==0)///遞歸終止條件
    {
        return ;
    }
    if(b[i][j]==1)
    {
        Print(i-1,j-1);
        printf("%c",x[i-1]);
    }
    else if(b[i][j]==2)
    {
        Print(i-1,j);
    }
    else if(b[i][j]==3)
    {
        Print(i,j-1);
    }
}
int main()
{
    int lena,lenb,i,j;
    while(scanf("%s%s",x,y)!=EOF)
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        memset(b,0,sizeof(b));
        lena=strlen(x);
        lenb=strlen(y);
        for(i=1;i<=lena;i++)
        {
            for(j=1;j<=lenb;j++)
            {
                if(x[i-1]==y[j-1])
                {
                    dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
                    b[i][j]=1;///來自於左上方
                }
                else
                {
                    if(dp[i-1][j]>dp[i][j-1])
                    {
                        dp[i][j]=dp[i-1][j];
                        b[i][j]=2;///來自於左方
                    }
                    else
                    {
                        dp[i][j]=dp[i][j-1];
                        b[i][j]=3;///來自於上方
                    }
                }
            }
        }
        Print(lena,lenb);
    }
    return 0;
}

 

非遞歸，在這里因為是逆序的回溯，所以我使用了棧來存儲路徑

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stack>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define N 1010
int dp[N][N];
char c;
int main()
{
    char a[N];
    char b[N];
    scanf("%s%s",a,b);
    int la=strlen(a);
    int lb=strlen(b);
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=1; i<=la; i++)
    {
        for(int j=1; j<=lb; j++)
        {
            if(a[i-1]==b[j-1])
                dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
            else
                dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
        }
    }
    int i=la,j=lb;
    stack<char>s;
    while(dp[i][j])
    {
        if(dp[i][j]==dp[i-1][j])///來自於左方向
        {
            i--;
        }
        else if(dp[i][j]==dp[i][j-1])///來自於上方向
        {
            j--;
        }
        else if(dp[i][j]>dp[i-1][j-1])///來自於左上方向
        {
            i--;
            j--;
            s.push(a[i]);
        }
    }
    while(!s.empty())
    {
        c=s.top();
        printf("%c",c);
        s.pop();
    }
    return 0;
}