算法導論-動態規划(最長公共子序列問題LCS)-C++實現

    首先定義一個給定序列的子序列，就是將給定序列中零個或多個元素去掉之后得到的結果，其形式化定義如下：給定一個序列X = <x₁,x₂ ,..., x_m>，另一個序列Z =<z₁,z₂ ,..., z_k> 滿足如下條件時稱為X的子序列，即存在一個嚴格遞增的X的下標序列<i₁,i₂ ,..., i_k>，對於所有j = 1,2,...,k，滿足x_ij = z_j，例如，Z=<B,C,D,B>是X=<A,B,C,B,D,A,B>的子序列，對應的下標序列為<2,3,5,7>。給定兩個序列X和Y，如果Z是X的子序列，也是Y的子序列，則稱它是X和Y的公共子序列。

   最長公共子序列問題(longest-common-subsequence problem)可用動態規划方法高效地求解。

   步驟1：刻畫最長公共子序列的特征

   LCS問題具有 最優子結構性質。子問題的自然分類對應兩個輸入序列的“前綴"對。"前綴"的定義如下：給定一個序列X = <x₁,x₂ ,..., x_m>，對於i = 0,1,...,m，定義X的第i前綴為X_i = <x₁,x₂ ,..., x_i>。例如，若 X = <A,B,C,B,D,A,B>，則 X₄ = <A,B,C,B>，X₀為空串。

    令X = <x₁,x₂ ,..., x_m>和Y = <y₁,y₂ ,..., y_n> 為兩個序列，Z =<z₁,z₂ ,..., z_k>為X和Y的任意LCS。

1.     如果X_m = Y_n，則 Z_k =  X_m = Y_n且Z_k-1 是X_m-1和Y_n-1的一個LCS。
2.     如果 X_m ≠ Y_n，那么Z_k ≠  X_m意味着Z是X_m-1和Y的一個LCS。
3.     如果 X_m ≠ Y_n，那么Z_k ≠  Y_n意味着Z是X和Y_n-1的一個LCS。

    步驟2：一個遞歸解

    很容易看出LCS問題的重疊子問題性質。為了求X和Y的一個LCS，我們可能需要求X和Y_n-1的一個LCS及X_m-1和Y的一個LCS。但是這幾個子問題都包含求解X_m-1和Y_n-1的LCS的子子問題。我們定義c[i,j]表示X_i和Y_j的LCS的長度。如果i= 0 或j = 0，即一個序列長度為0，那么LCS的長度為0，根據LCS問題的最優子結構性質，可得如下公式：

     步驟3：計算LCS的長度

    過程LCS-LENGTH接受兩個序列X = <x₁,x₂ ,..., x_m>和Y = <y₁,y₂ ,..., y_n>為輸入。它將c[i,j]的值保存在表c[0...m,0...n]中，過程還維護一個表b[1...m,1...n]，幫助構造最優解。b[i,j]指向的表項對應計算c[i,j]時所選擇的子問題最優解。過程返回表b和表c，c[m,n]保存了X和Y的長度。

//偽代碼
LCS-LENGTH(X,Y)
m = X.length
n = Y.length
let b[1..m,1..n] and c[0..m,0..n]be new tables
for i = 1 to m
    c[i,0] = 0
for j = 0 to n
    c[0,j] = 0
for i = 1 to m
    for j = 1 to n
　　　　if xi == yi
　　　　　　c[i,j] = c[i-1,j-1] + 1
　　　　　　b[i,j] = "\"

　　　　else if c[i-1,j] ≥ c[i,j-1]

　　　　　　c[i,j] = c[i-1,j]

　　　　　　b[i,j] = "|"

　　　　else

　　　　　　c[i,j] = c[i,j-1]

　　　　　　b[i,j] = "—"

return c and b

下圖顯示了LCS-LENGTH對輸入序列X= <A,B,C,B,D,A,B>和Y=<B,D,C,A,B,A>生成的結果。過程的運行時間為O(mn)。

    步驟4：構造LCS

    利用LCS-LENGTH返回的表b快速構造X和Y的LCS,只需簡單地從b[m,n]開始，並按箭頭方向追蹤下去即可。擋在表項b[i,j]中遇到一個”\"時，意味着x_i=y_i是LCS的一個元素。下面的遞歸過程會按正確的順序打印出X和Y的一個LCS。對它的起始調用為PRINT-LCS(b,X,X.length,Y.length)。

PRINT-LCS(b,X,i,j)

　　if == 0 or j==0

　　　　return

　　if b[i,j] == "\"

　　　　PRINT-LCS(b,X,i-1,j-1)

　　　　print x_i

　　else if b[i,j] == "|"

　　　　PRINT-LCS(b,X,i-1,j)

　　else

　　　　PRINT-LCS(b,X,i,j-1)

 

實現：

void lcsLength(string x,string y, vector< vector<int>> &c, vector< vector<char>> &b)
{
    int m = x.size();
    int n = y.size();
    c.resize(m+1);
    b.resize(m+1);
    for(int i = 0; i < c.size(); ++i)
        c[i].resize(n+1);
    for(int i = 0; i < b.size(); ++i)
        b[i].resize(n+1);

    for(int i = 1; i <= m; ++i){
        for(int j = 1; j <= n; ++j){
            if(x[i-1] == y[j-1]){
                c[i][j] = c[i-1][j-1]+1;
                b[i][j] = 'c';
            }else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1]){
                c[i][j] = c[i-1][j];
                b[i][j] ='u';
            }else{
                c[i][j] = c[i][j-1];
                b[i][j] = 'l';
            }
        }
    }
}

void print_lcs(vector< vector<char>> &b,string x, int i, int j)
{
    if(i == 0 || j == 0)
        return;
    if(b[i][j] == 'c'){
        print_lcs(b,x,i-1,j-1);
        cout << x[i-1];
    }else if(b[i][j] == 'u')
        print_lcs(b,x,i-1,j);
    else
        print_lcs(b,x,i,j-1);
}

例子：

int main()
{
    string x = "ABCBDAB";
    string y = "BDCABA";
    vector< vector<int>> c;
    vector< vector<char>> b;

    lcsLength(x,y,c,b);
    print_lcs(b,x,x.size(),y.size());
}

輸出：