最長公共子序列和最長公共子串（dp）

現在已經開始做動態規划的題目了，掛一個老師布置的作業

最長公共子序列和最長公共子串都是dp的經典題目

具體問題網上都有很多變形，接下來我先介紹一下最原始的問題：

該題就是最為典型的最長公共子序列。子序列與下面要講的子串的不同之處是：子序列中的字符在原串中不一定連續，但是字母的相對位置沒有改變，而子串則是一個連續的原串的子集。

我們可以使用動態規划的方法解決這兩個問題：

1.最長公共子序列(LCS)

 

設X=x1x2…xm和Y=y1y2…yn是兩個序列，Z=z1z2…zk是這兩個序列的一個最長公共子序列。
1. 如果xm=yn，那么zk=xm=yn，且Zk-1是Xm-1，Yn-1的一個最長公共子序列；
2. 如果xm≠yn，那么zk≠xm，意味着Z是Xm-1，Y的一個最長公共子序列；
3. 如果xm≠yn，那么zk≠yn，意味着Z是X，Yn-1的一個最長公共子序列。

 

我們使用dp[i][j]來表示第一個串的前i位和第二個串的前j位中的最長公共子序列，我們很容易能發現當兩個串的任意一個串的當前長度為0時，它的最長公共子序列的長度為0，所以先對dp數組的邊界進行初始化。然后我們發現，如果a[i]=b[j]，dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1，很顯然，當比對的位字符一樣時，能得到該狀態轉移方程。如果a[i]≠b[j]，dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])，該狀態轉移方程是由上面的2，3條取最大值得到的。

下面看一下代碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[2005][2005];
int main()
{
    char a[2005],b[2005];
    cin>>a>>b;
    for(int i=0;i<=strlen(a);i++)
    {
        dp[i][0]=0;
    }
    for(int j=0;j<=strlen(b);j++)
    {
        dp[0][j]=0;
    }
    for(int i=1;i<=strlen(a);i++)
    {
        for(int j=1;j<=strlen(b);j++)
        {
            if(a[i-1]==b[j-1])
            {
                dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
            }
            else
            {
                dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
            }
        }
    }
    cout<<dp[strlen(a)][strlen(b)]<<endl;
    return 0;
}

 

 2.最長公共子串

 

這就是最長公共子串的基本概念，和子序列非常像，但是字串是要求連續的。我們使用dp[i][j]來表示第一個串的前i位和第二個串的前j位中的最長公共子串，我們很容易能發現當兩個串的任意一個串的當前長度為0時，它的最長公共子序列的長度為0，所以先對dp數組的邊界進行初始化。然后我們發現，如果a[i]=b[j]，dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1，很顯然，當比對的位字符一樣時，能得到該狀態轉移方程。如果a[i]≠b[j]，dp[i][j]=0，說明無論之前有沒有連續的子串，到了這個不相等的位置會直接斷掉，所以dp[i][j]=0;

下面是最長公共子串的代碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[2005][2005];
int main()
{
    char a[2005],b[2005];
    cin>>a>>b;
    for(int i=0;i<=strlen(a);i++)
    {
        dp[i][0]=0;
    }
    for(int j=0;j<=strlen(b);j++)
    {
        dp[0][j]=0;
    }
    for(int i=1;i<=strlen(a);i++)
    {
        for(int j=1;j<=strlen(b);j++)
        {
            if(a[i-1]==b[j-1])
            {
                dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
            }
            else
            {
                dp[i][j]=0;
            }
        }
    }
    int maxn=-1;
    for(int i=1;i<=strlen(a);i++)
    {
        for(int j=1;j<=strlen(b);j++)
        {
            maxn=max(maxn,dp[i][j]);
        }
    }
    cout<<maxn<<endl;
    return 0;
}