1. 什么是最長公共子序列？什么是最長公共子串？
1.1. 最長公共子序列（Longest-Common-Subsequences，LCS）
最長公共子序列（Longest-Common-Subsequences，LCS）是一個在一個序列集合中（通常為兩個序列）用來查找所有序列中最長子序列的問題。這與查找最長公共子串的問題不同的地方是：子序列不需要在原序列中占用連續的位置 。
最長公共子序列問題是一個經典的計算機科學問題，也是數據比較程序，比如Diff工具，和生物信息學應用的基礎。它也被廣泛地應用在版本控制，比如Git用來調和文件之間的改變。
1.2 最長公共子串（Longest-Common-Substring，LCS）
最長公共子串（Longest-Common-Substring，LCS）問題是尋找兩個或多個已知字符串最長的子串。此問題與最長公共子序列問題的區別在於子序列不必是連續的，而子串卻必須是連續的。
2. 如何求解最長公共子序列?
例如序列str_a=world，str_b=wordl。序列wo是str_a和str_b的一個公共子序列，但是不是str_a和str_b的最長公共子序列，子序列word是str_a和str_b的一個LCS，序列worl也是。
暴力查找？
尋找LCS的一種方法是枚舉X所有的子序列，然后注意檢查是否是Y的子序列，並隨時記錄發現的最長子序列。假設X有m個元素，則X有2^m個子序列，指數級的時間，對長序列不實際。
分析問題，設str_a=<x1,x2,…,xm>和str_b=<y1,y2,…,yn>為兩個序列，LCS(str_a,str_b)表示str_a和str_b的一個最長公共子序列，可以看出
如果str_a[m] == str_b[n]，則LCS (str_a, str_b) = str_a[m] + LCS(str_a[1:m-1],str_b[1:n-1])
如果str_a[m] != str_b[n]，則LCS(str_a,str_b)= max{LCS(str_a[1:m-1], str_b), LCS (str_a, str_b[n-1])}
LCS問題也具有重疊子問題性質：為找出LCS(str_a,str_b)，可能需要找LCS(str_a[1:m-1], str_b)以及LCS (str_a, str_b[n-1])。但這兩個子問題都包含着LCS(str_a[1:m-1],str_b[1:n-1]).
2.1 基於遞歸的方法
根據上邊分析結果，可以寫出簡潔易懂的遞歸方法。
def recursive_lcs(str_a, str_b):
if len(str_a) == 0 or len(str_b) == 0:
return 0
if str_a[0] == str_b[0]:
return recursive_lcs(str_a[1:], str_b[1:]) + 1
else:
return max([recursive_lcs(str_a[1:], str_b), recursive_lcs(str_a, str_b[1:])])
print recursive_lcs(str_a, str_b)
2.2 基於自底向上動態規划的方法
根據上述分析問題，動態規划遞推公式也非常明顯，可以寫出動態規划代碼：
def bottom_up_dp_lcs(str_a, str_b):
"""
longest common subsequence of str_a and str_b
"""
if len(str_a) == 0 or len(str_b) == 0:
return 0
dp = [[0 for _ in range(len(str_b) + 1)] for _ in range(len(str_a) + 1)]
for i in range(1, len(str_a) + 1):
for j in range(1, len(str_b) + 1):
if str_a[i-1] == str_b[j-1]:
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
else:
dp[i][j] = max([dp[i-1][j], dp[i][j-1]])
print "length of LCS is :",dp[len(str_a)][len(str_b)]
# 輸出最長公共子序列
i, j = len(str_a), len(str_b)
LCS = ""
while i > 0 and j > 0:
if str_a[i-1] == str_b[j-1] \ # 這里一定要比較a[i-1]和b[j-1]是否相等
and dp[i][j] == dp[i-1][j-1] + 1:
LCS = str_a[i - 1] + LCS
i, j = i-1, j-1
continue
if dp[i][j] == dp[i-1][j]:
i, j = i-1, j
continue
if dp[i][j] == dp[i][j-1]:
i, j = i, j-1
continue
print "LCS is :", LCS
bottom_up_dp_lcs(str_a, str_b)
2.3 降低空間復雜度的動態規划算法
根據上述問題分析以及2.2中的dp矩陣可以看出，其實每一步的求解，只和三個元素有關：左邊的元素，上邊的元素，左上角的元素。因此我們可以進行空間優化，用一維數組代替二維矩陣。
def space_efficient_lcs(str_a, str_b):
"""
longest common subsequence of str_a and str_b, with O(n) space complexity
"""
if len(str_a) == 0 or len(str_b) == 0:
return 0
dp = [0 for _ in range(len(str_b) + 1)]
for i in range(1, len(str_a) + 1):
left_up = 0
dp[0] = 0
for j in range(1, len(str_b) + 1):
left = dp[j-1]
up = dp[j]
if str_a[i-1] == str_b[j-1]:
dp[j] = left_up + 1
else:
dp[j] = max([left, up])
left_up = up
print dp[len(str_b)]
space_efficient_lcs(str_a, str_b)
3. 如何求解最長公共子串？
最長公共子串比最長公共子序列的遞推公式要簡單一些。
dp[i][j]的含義也發生了變化：
- 在最長公共子序列中，dp[i][j]表示str_a[1:i]和str_b[1:j]的最長公共子序列，是從str_a的1和str_b的1開始計算的，即整個字符串的起始位置。
- 在最長公共子串中，dp[i][j]表示str_a[i':i]和str_b[j':j]的最長公共子串，因為str_a和str_b可能存在多個公共子串，所以i'和j'分別表示
當前公共子串的起始位置。
也就是說：
- 當str_a[i] == str_b[j]時，dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+ 1；
- 當str_a[i] != str_b[j]時，dp[i][j] = 0，即開始計算新的公共子串。
和最長公共子序列不同的是，在最長公共子串問題中，dp[m][n]不一定是最終結果，比如“abcdxy”和“abcfxy”，dp[m][n]存儲的是公共子串“xy”的長度，而不是公共子串“abc”的長度，所以需要一個變量單獨記錄最長子串的長度。
3.1 動態規划算法
def bottom_up_dp_lcs(str_a, str_b):
"""
longest common substring of str_a and str_b
"""
if len(str_a) == 0 or len(str_b) == 0:
return 0
dp = [[0 for _ in range(len(str_b) + 1)] for _ in range(len(str_a) + 1)]
max_len = 0
lcs_str = ""
for i in range(1, len(str_a) + 1):
for j in range(1, len(str_b) + 1):
if str_a[i-1] == str_b[j-1]:
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
max_len = max([max_len, dp[i][j]])
if max_len == dp[i][j]:
lcs_str = str_a[i-max_len:i]
else:
dp[i][j] = 0
print "length of LCS is :",max_len
print "LCS :",lcs_str
bottom_up_dp_lcs(str_a, str_b)
3.2 優化空間復雜度的動態規划算法
def space_efficient_lcs(str_a, str_b):
"""
longest common substring of str_a and str_b, with O(n) space complexity
"""
if len(str_a) == 0 or len(str_b) == 0:
return 0
max_len = 0
dp = [0 for _ in range(len(str_b) + 1)]
for i in range(1, len(str_a) + 1):
left_up = 0
for j in range(1, len(str_b) + 1):
up = dp[j]
if str_a[i-1] == str_b[j-1]:
dp[j] = left_up + 1
max_len = max([max_len, dp[j]])
else:
dp[j] = 0
left_up = up
print max_len
space_efficient_lcs(str_a, str_b)