1. 問題描述
子串應該比較好理解，至於什么是子序列，這里給出一個例子：有兩個母串
- cnblogs
- belong
比如序列bo, bg, lg在母串cnblogs與belong中都出現過並且出現順序與母串保持一致，我們將其稱為公共子序列。最長公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS），顧名思義，是指在所有的子序列中最長的那一個。子串是要求更嚴格的一種子序列，要求在母串中連續地出現。在上述例子的中，最長公共子序列為blog（cnblogs, belong），最長公共子串為lo（cnblogs, belong）。
2. 求解算法
對於母串\(X = < x_1, x_2, \cdots , x_m >\), \(Y = < y_1, y_2, \cdots , y_n >\)，求LCS與最長公共子串。
暴力解法
假設 \(m < n\)， 對於母串\(X\)，我們可以暴力找出\(2^m\)個子序列，然后依次在母串\(Y\)中匹配，算法的時間復雜度會達到指數級\(O(n*2^m)\)。顯然，暴力求解不太適用於此類問題。
動態規划
假設\(Z =< z_1, z_2, \cdots , z_k >\)是\(X\)與\(Y\)的LCS， 我們觀察到
- 如果\(x_m = y_n\)，則\(z_k = x_m = y_n\)，有\(Z_{k-1}\)是\(X_{m-1}\)與\(Y_{n-1}\)的LCS；
- 如果\(x_m \ne y_n\)，則\(Z_{k}\)是\(X_{m}\)與\(Y_{n-1}\)的LCS，或者是\(X_{m-1}\)與\(Y_{n}\)的LCS。
因此，求解LCS的問題則變成遞歸求解的兩個子問題。但是，上述的遞歸求解的辦法中，重復的子問題多，效率低下。改進的辦法——用空間換時間，用數組保存中間狀態，方便后面的計算。這就是動態規划（DP)的核心思想了。
DP求解LCS
用二維數組c[i][j]記錄串\(x_1x_2 \cdots x_i\)與\(y_1y_2\cdots y_j\)的LCS長度，則可得到狀態轉移方程
代碼實現
public static int lcs(String str1, String str2) {
int len1 = str1.length();
int len2 = str2.length();
int c[][] = new int[len1+1][len2+1];
for (int i = 0; i <= len1; i++) {
for( int j = 0; j <= len2; j++) {
if(i == 0 || j == 0) {
c[i][j] = 0;
} else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) {
c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
} else {
c[i][j] = max(c[i - 1][j], c[i][j - 1]);
}
}
}
return c[len1][len2];
}
DP求解最長公共子串
前面提到了子串是一種特殊的子序列，因此同樣可以用DP來解決。定義數組的存儲含義對於后面推導轉移方程顯得尤為重要，糟糕的數組定義會導致異常繁雜的轉移方程。考慮到子串的連續性，將二維數組\(c[i,j]\)用來記錄具有這樣特點的子串——結尾為母串\(x_1x_2 \cdots x_i\)與\(y_1y_2\cdots y_j\)的結尾——的長度。
得到轉移方程：
最長公共子串的長度為 \(max(c[i,j]), \ i\in \lbrace 1,\cdots, m \rbrace, j\in \lbrace 1,\cdots,n \rbrace\)。
代碼實現
public static int lcs(String str1, String str2) {
int len1 = str1.length();
int len2 = str2.length();
int result = 0; //記錄最長公共子串長度
int c[][] = new int[len1+1][len2+1];
for (int i = 0; i <= len1; i++) {
for( int j = 0; j <= len2; j++) {
if(i == 0 || j == 0) {
c[i][j] = 0;
} else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) {
c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
result = max(c[i][j], result);
} else {
c[i][j] = 0;
}
}
}
return result;
}
3. 參考資料
[1] cs2035, Longest Common Subsequence.
[2] 一線碼農, 經典算法題每日演練——第四題 最長公共子序列.
[3] GeeksforGeeks, Dynamic Programming | Set 29 (Longest Common Substring).