一、概述
- 邏輯：是指事物間的因果關系
- 二值邏輯：是指兩種對立邏輯狀態的邏輯關系。
- 邏輯代數：1849年英國數學家喬治，布爾( George Boole)首先提出了進行邏輯運算的數學方法————布爾代數。后來，由於布爾代數被廣泛應用於解決開關電路和數字邏輯電路的分析與設計中，所以也將布爾代數稱為開關代數或邏輯代數。邏輯代數就是布爾代數在二值邏輯電路中的應用。
- 邏輯變量：邏輯代數中的變量，常用字母表示。
二、邏輯代數中的基本運算
三、基本公式和常用公式
特別注意摩根定律，總結起來就是變量（或變量組）取反，符號乘加互換，總體再加個反號，例如：
四、基本定理
1、代入定理：在任何一個包含變量A的邏輯等式中，若以另外一個邏輯式代入式中所有A的位置，則等式仍然成立。
2、對偶定理：兩邏輯式相等，則其對偶式也相等。
- 對偶式YD： · 和 + 互換，0 和 1 互換
3、反演定理：邏輯式 Y，其對偶式結果為 Y'。
- ①先括號、然后乘、最后加。
- ②非單變量的反號應保留不變。
五、波形圖
如果將邏輯函數輸入變量每一種可能出現的取值與對應的輸出值按時間順序依次排列起來,就得到了表示該邏輯函數的波形圖。這種波形圖(waveform)也稱為時序圖( timing diagram)。
例如：Y = A（B+C）的波形圖如下所示：
仔細觀察一下發現，將這個波形圖逆時針旋轉90度，或者腦袋橫着看，就是真值表！那么波形圖化函數式也就成了真值表化函數式：
- ①找出真值表中使邏輯函數 Y=1 的那些輸人變量取值的組合。
- ②每組輸人變量取值的組合對應一個乘積項，其中取值為1的寫人原變量，取值為 0 的寫人反變量。
- ③將這些乘積項相加，即得 Y 的邏輯函數式。
六、最小項和最大項（掃一眼即可）
（1）最小項
①定義：
n個因子的乘積項中，每個因子均以原變量或反變量出現一次。
②例子：
A、B、C 的乘積項的最小項有：A'B'C'、A'B'C、A'BC'、A'BC、AB'C'、AB'C、ABC'、ABC。（類似三-八譯碼器）編號如下所示：
③性質：
- n個變量有 2n 個最小項。
- 所有最小項之和為 1。
- 任意兩個最小項之積為 0。
- 相鄰性的兩個最小項之和可以合並。相鄰性：即兩個最小項只有一個因子不同。
④最小項之和：
邏輯函數式化為“積之和”（與或）的形式。
（2）最大項
最小項是與，即相乘之積，而最大項是或，即相加之和。
- n個變量有 2n 個最大項。
- 所有最大項之積為 0。
- 任意兩個最大項之和為 1。
- 相鄰性的兩個最小項之和可以合並。
- 最大項 = 最小項取反，即 Mi = mi'。
最大項之和：邏輯函數式化為“和之積”（或與）的形式。
七、卡諾圖化簡法（化簡結果不唯一）
1、表示方法
（1）釋義
將 n 變量的全部最小項各用一個小方塊表示，並使具有邏輯相鄰性的最小項在幾何位置上也相鄰地排列起來，所得到的圖形稱為 n 變量最小項的卡諾圖。
（2）卡諾圖
（3）說明
①不是按自然二進制排列的，而是 2、3 互換，目的是保證邏輯相鄰性。（其實就是格雷碼排列）
②任何一行或一列，兩端之間也有邏輯相鄰性。
③軸變量 ≥ 3 后需要中間軸對稱，前半邊首位為0，剩余位照舊，后半邊首位為1，剩余位和左半邊軸對稱。（其實就是格雷碼排列）
（4）技巧
不一定要化成最小項之和，例如 Y = AC' + B，對於 AC' ，直接將所有 A=1，C=0的位置填 1 即可；對於 B，直接將所有 B=1 的位置填 1 即可。
2、卡諾圖化簡——圈 1 法
具有相鄰性的最小項（即1）合並，並消去不同的因子。注意，只能以 2n 為圈，可以單排、單列圈，也可以矩形圈。
例如：用卡諾圖化簡法將 Y = AC'+A'C+BC'+B'C 化簡為最簡與或函數式。
首先畫出其卡諾圖，，然后畫圈圈，有 2 種畫圈圈的方案：
對於圈圈(a)：Y=AB'+A'C+BC'
對於圈圈(b)：Y=AC'+B'C+A'B
3、卡諾圖化簡——圈 0 法
圈 0 法的做法和圈 1 法完全一致，只是圈的目標是 0，而結果等於 Y'，對 Y' 再取反即得到答案 Y。
圈 0 法對於 1 多 0 少 的卡諾圖偶爾有奇效。
八、無關項化簡（出題少）
1、無關項
分為約束項和任意項，是否把這些最小項寫入函數式無關緊要。
（1）約束項
對輸入變量取值的限制稱為約束。當限制某些輸入變量的取值不能出現時，用對應的最小項等於 0 表示，這些最小項就是約束項，例如：
（2）任意項
輸入變量是 1 或 0 皆可，並不影響電路的功能，用對應的最小項等於 1 表示，這些最小項就是任意項。
2、無關項的卡諾圖化簡
（1）要求
- 無關項在函數式中用 d(...）表示，在卡諾圖中用 × 表示。
- 無關項與函數式盡可能多的最小項具有邏輯相鄰性。
- 合並時，把 × 作為 1 或 0，應以得到的相鄰最小項組合最大、數目最少為原則。
（2）例題
解：Y = A'D + AD'
參考資料：閻石. 數字電子技術基礎(第5版)[M]. 高等教育出版社, 2006.