數電基礎---邏輯代數

介紹邏輯代數中基本的邏輯運算，基本公式，常用公式和基本定理。

邏輯門

簡單的邏輯門

邏輯代數的基本運算有與(AND)，或(OR)，非(NOT)三種。

“與”門

只有決定事物結果的全部條件同時具備時，結果才發生，這種因果關系稱為邏輯與，或者稱邏輯相乘。
邏輯真值表為

A	B	Y
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

其中\(A\),\(B\)為輸入，\(Y\)為輸出。
在邏輯代數中，以“\(\cdot\)”表示與運算。
\(A\)與\(B\)進行與邏輯運算時可以寫成

\[Y = A \cdot B \]

表示符號為

為了簡化書寫，允許將\(A\cdot B\)簡寫成\(AB\)，略去邏輯相乘的運算符號“\(\cdot\)”。

"或"門

在決定事物結果的諸條件中只要有任何一個滿足，結果就會發生，這種因果關系稱為邏輯或，或者稱邏輯相加。
邏輯真值表為

A	B	Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

其中\(A\),\(B\)為輸入，\(Y\)為輸出。
在邏輯代數中，以“\(+\)”表示或運算。
\(A\)與\(B\)進行或邏輯運算時可以寫成

\[Y = A + B \]

表示符號為

"非"門

只要條件具備了，結果就不會發生，而條件不具備時，結果就一定發生，這種因果關系稱為邏輯非，或者稱邏輯相反。
邏輯真值表為

A	Y
0	1
1	0

其中\(A\)為輸入，\(Y\)為輸出。
在邏輯代數中，以“\(\prime\)”表示非運算。
\(A\)進行非邏輯運算時可以寫成

\[Y = A^{\prime} \]

表示符號為

復合邏輯門

最常見的復合邏輯運算有與非(NAND)，或非(NOR)，與或非(AND-NOR)，異或(EXCLUSIVE OR//XOR)，同或(EXCLUSIVE NOR//XNOR )等。

“與非”門

與非操作，將\(A\),\(B\)先進行與運算，然后將結果求反，最后得到的即為\(A\),\(B\)的與非運算結果。（先與后非）
邏輯真值表

A	B	Y
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

其中\(A\),\(B\)為輸入，\(Y\)為輸出。
\(A\)與\(B\)進行與非邏輯運算時可以寫成

\[Y = (A \cdot B)^{\prime} \]

表示符號為

實際上可以把與非運算看作是與運算和非運算的組合，圖形符號上的小圓圈表示非運算。(后面會提到，可以將圖像上的小圓圈看成一個非門)

"或非"門

或非操作，將\(A\),\(B\)先進行或運算，然后將結果求反，最后得到的即為\(A\),\(B\)的或非運算結果。（先或后非）
邏輯真值表

A	B	Y
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

其中\(A\),\(B\)為輸入，\(Y\)為輸出。
\(A\)與\(B\)進行或非邏輯運算時可以寫成

\[Y = (A + B)^{\prime} \]

表示符號為

實際上可以把或非運算看作是或運算和非運算的組合，圖形符號上的小圓圈表示非運算。

"異或"門

異或是這樣一種邏輯關系，當A，B不同時，輸出Y為1，當A，B相同時，輸出Y為0。

邏輯真值表

A	B	Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

其中\(A\),\(B\)為輸入，\(Y\)為輸出。
在邏輯代數中，以“ \(\oplus\)”表示異或運算。

\(A\)與\(B\)進行異或邏輯運算時可以寫成

\[Y =A \oplus B= A \cdot B^{\prime} + A ^{\prime} \cdot B \]

表示符號為

"同或"門

同或的邏輯關系，當A，B相同時，輸出Y為1，當A，B不同時，輸出Y為0。

邏輯真值表

A	B	Y
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

其中\(A\),\(B\)為輸入，\(Y\)為輸出。
在邏輯代數中，以“\(\odot\)”表示與運算。

\(A\)與\(B\)進行同或邏輯運算時可以寫成

\[Y = A \odot B=A \cdot B + A^{\prime} \cdot B^{\prime} \]

表示符號為

---

從上面我們可以看出異或和同或互為反運算

\[A \oplus B =(A \odot B)^{\prime} \\A \odot B = (A \oplus B)^{\prime} \]

"與或非"門

與或非邏輯，A，B之間以及C，D之間都是與的關系，只要A，B或C，D任何一組同時為1，輸出Y就是0，只有當每一組輸入都不全是1時，輸出Y才時1。(兩兩先求或，再求與，再求非)
邏輯真值表

A	B	C	D	Y
0	0	0	0	1
0	0	0	1	1
0	0	1	0	1
0	0	1	1	0
0	1	0	0	1
0	1	0	1	1
0	1	1	0	1
0	1	1	1	0
1	0	0	0	1
1	0	0	1	1
1	0	1	0	1
1	0	1	1	0
1	1	0	0	0
1	1	0	1	0
1	1	1	0	0
1	1	1	1	0

其中\(A\),\(B\),\(C\),\(D\)為輸入，\(Y\)為輸出。
\(A\),\(B\),\(C\),\(D\)進行與或非邏輯運算時可以寫成

\[Y = (A \cdot B+ C \cdot D)^{\prime} \]

表示符號為

邏輯公式

基本邏輯公式

布爾恆等式

\[0 \cdot A = 0 \]

\[1^{\prime} = 0 ; 0^{\prime} = 1 \]

\[1\cdot A =A \]

\[1\cdot A =A \]

\[1+A=1 \]

\[A \cdot A= A \]

\[0+A=A \]

\[A\cdot A^{\prime}=0 \]

\[A+A=A \]

\[A\cdot B = B\cdot A \]

\[A+A^{\prime}=1 \]

\[A\cdot(B\cdot C)=(A \cdot B)\cdot C \]

\[A+B=B+A \]

\[A\cdot(B+C)=A\cdot B + A \cdot C \]

\[A+(B+C)=(A+B)+C \]

\[(A \cdot B)^{\prime}=A^{\prime}+B^{\prime} \]

\[A+B\cdot C = (A+B)\cdot (A+C) \]

\[(A^{\prime})^{\prime}=A \]

\[(A+B)^{\prime}=A^{\prime}\cdot B^{\prime} \]

注意：\((A+B)^{\prime} \neq A^{\prime} + B^{\prime}\)
舉個非常簡單的例子，假設\(A = 1;B=0;\)帶入到上式里面，\(0 \neq 1\)，涉及到邏輯函數括號的展開，嚴格按照公式來！！！

\(A+B\cdot C = (A+B)\cdot (A+C)\) 可以左右展開來證明

常用邏輯公式

1,

\[A+A\cdot B=A \]

證明：

\[A+A \cdot B = A \cdot (1+B)=A \cdot 1=A \]

2,

\[A+A^{\prime}\cdot B =A+B \]

證明：

\[A+A^{\prime}\cdot B = A+A \cdot B+A^{\prime} \cdot B=A+(A+A^{\prime})\cdot B=A+B \]

3,

\[A\cdot B + A \cdot B^{\prime}=A \]

證明：

\[A \cdot B + A \cdot B^{\prime} = A \cdot (B + B^{\prime})=A \]

4,

\[A \cdot (A+B)=A \]

證明：

\[A \cdot (A+B)=A \cdot A+A \cdot B=A + A \cdot B = A \cdot(1+B)=A \]

5,

\[A\cdot B + A^{\prime}\cdot C+B\cdot C = A\cdot B + A^{\prime} \cdot C \]

證明：

\[A \cdot B + A^{\prime} \cdot C+ B \cdot C \\=A \cdot B +A^{\prime} \cdot C + B\cdot C(A+A^{\prime}) \\=A \cdot B +A^{\prime} \cdot C+A \cdot B \cdot C + A^{\prime} \cdot B \cdot C \\=A \cdot B \cdot(1 +C)+A^{\prime }\cdot C \cdot (B+1) \\=A \cdot B +A^{\prime} \cdot C \]

6,

\[A \cdot B+A^{\prime}\cdot C+BCD=A\cdot B +A^{\prime} \cdot C \]

證明：

\[A \cdot B+A^{\prime}\cdot C+BCD \\=A \cdot B+ A^{\prime} \cdot C +B \cdot C \cdot D \cdot (A + A^{\prime}) \\=A \cdot B +A^{\prime} \cdot C + A \cdot B \cdot C \cdot D +A^{\prime} \cdot B \cdot C \cdot D \\=A \cdot B \cdot (1 + C\cdot D)+A^{\prime} \cdot C \cdot(1+ B\cdot D) \\=A \cdot B + A^{\prime} \cdot C \]

7,

\[A \cdot (A\cdot B)^{\prime}=A\cdot B^{\prime};A^{\prime}\cdot(A \cdot B)^{\prime}=A^{\prime} \]

證明：

\[A \cdot (A\cdot B)^{\prime}=A\cdot(A^{\prime}+B^{\prime})=A \cdot A^{\prime}+A \cdot B^{\prime}=A \cdot B^{\prime} \\A^{\prime}\cdot(A \cdot B)^{\prime}=A^{\prime} \cdot (A^{\prime} +B^{\prime})=A^{\prime} \cdot A^{\prime}+A^{\prime}\cdot B^{\prime}=A^{\prime} +A^{\prime} \cdot B^{\prime}=A^{\prime} \cdot (1+ B^{\prime})=A^{\prime} \]

邏輯代數的基本定理

代入定理

在任何一個包含變量\(A\)的邏輯等式中，若以另外一個邏輯式代入式中所有\(A\)的位置，則等式仍然成立。這就是代入定理。
因為\(A\)的取值無非就是\(0\)或\(1\),而邏輯式的結果也只有\(0\)和\(1\)兩種情況，所以代入進去自然也成立。

反演定理

對於任意一個邏輯式\(Y\)，若將其中所有的"\(\cdot\)"換成"\(+\)""，"\(+\)"換成"\(\cdot\)"，\(0\)換成\(1\)，\(1\)換成\(0\)，原變量換成反變量，反變量換成原變量，則得到的結果就是\(Y^{\prime}\)，這個規律稱為反演定理。
反演定理需要注意兩個規則：
1，需遵守“先括號，然后乘，最后加的運算優先級
2，不屬於單個變量上的反號應保持不變。

舉個例子：

\[Y=((AB^{\prime}+C)^{\prime}+D)^{\prime}+C\\ Y^{\prime}=(((A^{\prime}+B)C^{\prime})^{\prime}D^{\prime})^{\prime}C^{\prime} \]

對偶定理

對偶式：對於任何一個邏輯式\(Y\)，若將其中的“\(\cdot\)”換成“\(+\)”，"\(+\)"換成“\(\cdot\)”，\(0\)換成\(1\)，\(1\)換成\(0\)，則得到一個新的邏輯式\(Y^{D}\)，這個\(Y^{D}\)就稱為\(Y\)的對偶式，或者說\(Y\)和\(Y^{D}\)互為對偶式。
如果兩邏輯式相等，則它們的對偶式也相等，這就是對偶定理。

如果直接證明兩個邏輯式相等不好證，可以考慮證明他們的對偶式相等。