數電基礎---邏輯函數的化簡與變換

你的成功不意味着別人失敗，別人的成功也不意味着你的無能——
你的事是你的事，別人的事是別人的事；
你的情感只是你自己的情感，別人的情感也只是他自己的情感

邏輯函數式的表示方法

對於一個邏輯函數式，我們要表示它，可以用這個邏輯函數式的真值表，邏輯函數式，用門級器件搭成的邏輯圖，信號波形圖，卡諾圖，硬件描述語言等來表示，這幾種表示方法都用來表示同一個邏輯函數式，在這種層次上這幾種表示方法等價。

卡諾圖

最大項與最小項

最小項：假設一個邏輯函數有n個變量，對於一乘積項m，m包含所有的n個變量，而且這n個變量均以原變量或者反變量的形式在m中出現一次，則稱乘積項m為最小項。
舉個例子，假如有三個變量\(A\),\(B\),\(C\),則這三個變量的最小項有\(ABC\),\(A^{\prime}BC\),\(AB^{\prime}C\),\(ABC^{\prime}\),\(A^{\prime}B^{\prime}C\),\(A^{\prime}BC^{\prime}\),\(AB^{\prime}C^{\prime}\),\(A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}\)八種，\(n\)個輸入變量有\(2^{n}\)個最小項。

最大項：假設一個邏輯函數有n個變量，對於一項M為n個變量之和，M包含所有的n個變量，而且這n個變量均以原變量或者反變量的形式在M中出現一次，則稱M為最大項。
比如三個變量\(A\),\(B\),\(C\)的最大項有：\((A+B+C)\),\((A^{\prime}+B+C)\),\((A+B^{\prime}+C)\),\((A+B+C^{\prime})\),\((A^{\prime}+B^{\prime}+C)\),\((A^{\prime}+B+C^{\prime})\),\((A+B^{\prime}+C^{\prime})\),\((A^{\prime}+B^{\prime}+C^{\prime})\)八個，\(n\)個輸入變量有\(2^{n}\)個最大項。
最小項性質：
1，在輸入變量的任何取值下必有一個最小項，而且僅有一個最小項的值為1
2，所有最小項之和為1
3，任意兩個最小項的乘積為0
最大項性質：
1，在輸入變量的任何取值下必有一個最大項，而且僅有一個最大項的值為0
2，所有最大項之積為0
3，任意兩個最大項的和為1
舉個例子：當三個變量為\(0，0，0\)時，所對應的最大項只有\(A+B+C\)為0，其他都為1，所以任意兩個最大項的和為1.
4，只有一個變量不同的兩個最大項的乘積等於各相同變量之和。！！！
舉個例子:

\[(A+B+C)\cdot(A^{\prime}+B+C)=B+C \]

邏輯相鄰性

如果兩個最小項只有一個因子不同，則稱這兩個最小項具有相鄰性，具有相鄰性的兩個最小項之和可以合並成一項並消去一對因子。
比如\(ABC\)與\(A^{\prime}BC\)具有相鄰性，這兩個最小項之和可以合並成\(BC\)，消去了\(A\)。

無關項

對於有些項大前提是不會出現的，比如紅綠燈里面三個燈同時亮，這是不會出現的，或者就算出現也無所謂，比如紅綠燈就算三個燈亮，那么對於司機來說這是行駛（1）和停下（0）都無所謂了。
所以我們將不會出現的項或者對結果無所謂的項稱為無關項。

卡諾圖畫法

將n變量的全部最小項各用一個小方塊表示，並使具有邏輯相鄰性的最小項在幾何位置上也相鄰的排列在一起，所得到的圖形稱為n變量最小項的卡諾圖。
將函數式中包含的最小項相應的位置填1，沒有出現的最小項填成0，有的時候會限制無關項，無關項的位置填\(\times\)。實際上無關項對於我們來說要么不會出現要么無所謂，可1可0。
因為只有一個變量不同的最小項具有邏輯相鄰性，所以對於一個最小項方塊的上下左右都具有邏輯相鄰性。對於卡諾圖邊界上的最小項相較於對應行或者對應列的另一端的最小項也只有一個變量不同，也具有邏輯相鄰性，如果對於5變量的卡諾圖，在一側有三個變量，那三個變量這一側以中間為對稱軸，對稱位置也相應相鄰。

從圖上可以看到對於5變量的卡諾圖，\(m_1\)和\(m_5\)因為關於中間2次冪的中心軸對稱所以也是邏輯相鄰的(就一個變量不同)。
任何一個邏輯函數都能表示為若干個最小項之和，自然也可以用卡諾圖來表示一個邏輯函數。
首先將邏輯函數化成最小項之和的形式，然后在卡諾圖中與這些最小項對應的位置填入1，其余的位置填入0，就得到了該邏輯函數的卡諾圖，任何一個邏輯函數都等於它的卡諾圖中填入1的那些最小項之和。

真值表

將邏輯函數的輸入變量在所有可能的情況下所對應的輸出變量的結果找出來，放在表格里，就是邏輯函數的真值表。

邏輯函數的化簡方法

公式法

運用邏輯代數的公式和定理，消去邏輯函數中多余的乘積項和每項中多余的因子。
沒什么好說的，背公式和性質就完事了。
這里面有公式和性質==> 數電基礎---邏輯代數

卡諾圖法

1,畫出表示邏輯函數的卡諾圖
2,找出可以合並的最小項，把他們圈起來
3,選擇化簡后保留的乘積項，選取的原則一個是要包含卡諾圖中所有的1（要包含函數時所有的最小項），另一個是用最少的可合並的圈將卡諾圖中的1圈起來（所用的乘積項最少），而且希望每個圈盡可能大（每個乘積項的因子最少）。
注意為了使合並的圈最大，可以重復圈入某一項，對於無關項，在卡諾圖上可1可0，所以在化簡的時候也可以圈入無關項。

邏輯函數式的變換

在處理邏輯函數式的過程中，有時候（比如邏輯門區間的限制等）需要我們對邏輯函數式進行變換，從一種形式轉換為另一種形式。因為同一個邏輯函數式可以寫成很多種形式，所以邏輯函數式的變換是可能的。

與或形式轉換為與非-與非形式

利用摩根定理將整個與或式兩次求反，即可將與或形式化成與非-與非形式
比如：

\[Y = AB^{\prime}+A^{\prime}BD+CD^{\prime} \]

利用德摩根定律兩次求反

\[Y=(Y^{\prime})^{\prime}=((AB^{\prime}+A^{\prime}BD+CD^{\prime})^{\prime})^{\prime} \\=((AB^{\prime})^{\prime}(A^{\prime}BD)^{\prime}(CD^{\prime})^{\prime})^{\prime} \]

與或形式轉換為與或非形式

將不包含在函數式\(Y\)中的所有最小項相加，就得到\(Y^{\prime}\)，將這些最小項之和求反，就得到\(Y\)。
將不包含在函數式中的那些最小項相加，然后求反，得到函數式的與或非形式。
比如：

\[Y = A^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}+A^{\prime}BD+AB^{\prime}+B^{\prime}CD^{\prime} \]

可以先畫出\(Y\)的卡諾圖，找出非最小項之和即為\(Y^{\prime}\),因為\(Y^{\prime}\)是與或的形式，所以再對\(Y^{\prime}\)求反就得到了\(Y\)的與或非形式。

\[Y=(A^{\prime}B^{\prime}D+AB+BCD^{\prime})^{\prime} \]

與或形式轉換為或與形式

方法一：先將與或式轉換成與或非的形式，再利用德摩根定理將與或非式轉換成或與形式
方法二：利用\(A+BC=(A+B)(A+C)\)。(最后化簡結果不一定是最簡)
比如：

\[Y=AC+A^{\prime}B^{\prime}+A^{\prime}C^{\prime} \]

方法一：先將\(Y\)換成與或非形式，再利用德摩根定律將與或非轉換成或與形式。

先轉換成與或非形式

\[Y=(A^{\prime}BC+AC^{\prime})^{\prime} \\=(A^{\prime}BC)^{\prime}\cdot(AC^{\prime})^{\prime} \\=(A+B^{\prime}+C^{\prime})(A^{\prime}+C) \]

方法二：利用\(A+BC=(A+B)(A+C)\),將與或形式轉換成或與形式。

\[Y=AC+A^{\prime}B^{\prime}+A^{\prime}C^{\prime} \\=(A+A^{\prime}B^{\prime}+A^{\prime}C^{\prime})(C+A^{\prime}B^{\prime}+A^{\prime}C^{\prime}) \\=(A+B^{\prime}+C^{\prime})(C+A^{\prime}B^{\prime}+A^{\prime}) \\=(A+B^{\prime}+C^{\prime})(A^{\prime}+C) \]

但問題是方法二的結果可能不是最簡的，方法一在用卡諾圖的時候就化簡了，所以得到的結果應該是最簡的了。

與或形式轉換為或非或非形式

首先將與或形式轉換為與或非形式，利用德摩根定律就可以將與或非形式轉換成或非或非形式。
比如：

\[Y=A^{\prime}D^{\prime}+A^{\prime}B^{\prime}C+AC^{\prime}D+CD^{\prime} \]

先將\(Y\)換成與或非的形式，再利用德摩根定律將與或非中的與項換成或非項。

\[Y=(AC^{\prime}D^{\prime}+A^{\prime}C^{\prime}D+ACD+BCD)^{\prime} \\=((A^{\prime}+C+D)^{\prime}+(A+C+D^{\prime})^{\prime}+(A^{\prime}+C^{\prime}+D^{\prime})^{\prime}+\\(B^{\prime}+C^{\prime}+D^{\prime})^{\prime}) \]

轉換為最小項之和的形式

先轉換成與或的形式，在利用\(A+A^{\prime}=1\)將缺省的因子補齊。

轉換為最大想之積的形式

將式子轉換成或與的形式，再利用\(AA^{\prime}=0\)將缺少的因子補齊。