邏輯代數基礎
邏輯代數中的三種基本運算
與、或、非
復合邏輯運算最常見的有與非、或非、與或非、異或、同或等。
異或：\(A \bigoplus B = AB'+A'B\)
同或：\(A \bigodot B = AB+A'B'\)
異或與同或互為反運算。
邏輯代數的基本公式和常用公式
基本公式
也叫布爾恆等式（證明方法包括真值表法和推演法）：
總結為以下幾類：
開始為0行
- 變量與常量間的運算規則：1、2行
- 重疊律（同一變量）：3行
- 互補律（變量和其反變量）：4行
- 交換律（5行）結合律（6行）分配律（7行）
- De.Morgan定理，反演律（8行）
- 還原律：（9）
若干常用公式
由基本公式導出，便於化簡邏輯函數。
-
兩個乘積項相加時，若一項以另一項為因子，則該項多余：
\(A+AB =A\) -
兩個乘積項相加時，一項取反后是另一項的因子，則此因子多余，可以消去：
\(A+A'B=A+B\) -
兩個乘積項相加時，若他們分別包含\(B\)和\(B'\)兩個因子而其他因子相同，則兩項可合並。
\(AB+AB'=A\) -
變量\(A\)和包含\(A\)的和相乘時，結果為\(A\):
\(A(A+B)=A\) -
若兩個乘積項中分別包含\(A\)和\(A'\)兩個因子，則其余因子組成第三個乘積項時，第三個乘積項是多余的：
\(AB+A'C+BC=AB+A'C\)
進一步
\(AB+A'C+BCD=AB+A'C\) -
\(A\)和一個乘積項的非相乘，且\(A\)為這個乘積項的因子時，\(A\)這個因子可以消去：
\(A(AB)'=AB'\) -
\(A'\)和一個乘積項的非相乘，且\(A\)為這個乘積項的因子時，結果等於\(A'\)
\(A'(AB)'=A'\)
邏輯代數的基本定理
代入定理
在任何一個包含A的邏輯等式中，若以另外一個邏輯式代入式中所有A的位置，則等式依然成立。
反演定理
對於任意一個邏輯式\(Y\),若將其中所有的“\(\cdot\)”換成“\(+\)”,“\(+\)”換成“\(\cdot\)”,\(0\)換成\(1\),\(1\)換成\(0\),原變量換成反變量,反變量換成原變量,則得到的結果就是\(Y'\)。這個規律稱為反演定理。
反演定理為求取已知邏輯式的反邏輯式提供了方便。
在使用反演定理時,還需注意遵守以下兩個規則:
①仍需遵守“先括號、然后乘、最后加”的運算優先次序。
②不屬於單個變量上的反號應保留不變。
對偶定理
若兩邏輯式相等,則它們的對偶式也相等，這就是對偶定理。
所謂對偶式是這樣定義的:對於任何一個邏輯式\(Y\),若將其中的"\(\cdot\)"換成"\(+\)","\(+\)"換成"\(\cdot\)",0換成1,1換成0,則得到一個新的邏輯式\(Y\),這個\(Y^D\)就稱為\(Y\)的對偶式,或者說\(Y\)和\(Y^D\)互為對偶式.
邏輯函數及其表示方法
邏輯函數
\(Y=F(A,B,C,...)\)
邏輯函數的表示方法
邏輯真值表、邏輯表達式、邏輯圖、波形圖
由真值表寫出邏輯函數式的一般方法
①找出真值表中使邏輯函數Y=1的那些輸人變量取值的組合。
②每組輸入變量取值的組合對應一個乘積項,其中取值為1的寫入原變量,取值為0的寫入反變量。
③將這些乘積項相加，即得Y的邏輯函數式。
邏輯函數式與邏輯圖的相互轉換
從給定的邏輯函數式轉換為相應的邏輯圖時,只要用邏輯圖形符號代替邏輯函數式中的邏輯運算符號並按運算優先順序將它們連接起來，就可以得到所求的邏輯圖了。
而在從給定的邏輯圖轉換為對應的邏輯函數式時，只要從邏輯圖的輸人端到輸出端逐級寫出每個圖形符號的輸出邏輯式,就可以在輸出端得到所求的邏輯函數式了。
波形圖可以很方便地與真值表轉換。不再介紹。
邏輯函數的兩種標准形式。
最小項
在n變量邏輯函數中,若m為包含n個因子的乘積項,而且這n個變量均以原變量或反變量的形式在m中出現一次,則稱m為該組變量的最小項。 n變量的最小項有\(2^n\)個。
從最小項的定義出發可以證明它具有如下的重要性質:
①在輸人變量的任何取值下必有一個最小項,而且僅有一個最小項的值為1。
②全體最小項之和為1。
③任意兩個最小項的乘積為0。
④具有相鄰性的兩個最小項之和可以合並成一項並消去一對因子。
最大項
在n變量邏輯函數中，若M為n個變量之和,而且這n個變量均以原變量或反變量的形式在M中出現一次,則稱M為該組變量的最大項。 n變量的最大項數目和最小項數目是相等的，\(2^n\)項。
根據最大項的定義同樣也可以得到它的主要性質,這就是:
①在輸人變量的任何取值下必有一個最大項,而且只有一個最大項的值為0。
②全體最大項之積為0。
③任意兩個最大項之和為1。
④只有一個變量不同的兩個最大項的乘積等於各相同變量之和。
邏輯函數的最小項之和形式
首先將給定的邏輯函數式化為若干乘積項之和的形式(亦稱“積之和”形式),然后再利用基本公式A+A'=1將每個乘積項中缺少的因子補全,這樣就可以將與或的形式化為最小項之和的標准形式。
邏輯函數的最大項之積形式
寫成“和的積”，利用AA'=0
邏輯函數形式的變換
沒有看到好的方法。。
邏輯函數的化簡方法
在與或邏輯函數式中,若其中包含的乘積項已經最少,而且每個乘積項里的因子也不能再減少時,則稱此邏輯函數式為最簡形式。對與或邏輯式最簡形式的定義對其他形式的邏輯式同樣也適用,即函數式中相加的乘積項不能再減少，而且每項中相乘的因子不能再減少時,則函數式為最簡形式。
公式化簡法
沒有固定的步驟。常利用的公式：
\(AB+AB'=A\)
\(A+AB=A\)
\(AB+A'C+BC=AB+A'C\) 和 \(AB+A'C+BCD=AB+A'C\)
\(A+A'B=A+B\)
\(A+A=A\) 重復寫入某一項，獲取更加簡單的化簡結果
\(A+A'=1\) 某一項乘以\((A+A'=1)\),拆成兩項與其他項合並。
卡諾圖化簡法
邏輯函數的卡諾圖表示法
將n變量的全部最小項各用一個小方塊表示，並使具有邏輯相鄰性的最小項在幾何位置上也相鄰排列，所得到的圖形稱為n變量最小項的卡諾圖。
用卡諾圖表示一個邏輯函數：首先將邏輯函數化為最小項之和的形式,然后在卡諾圖上與這些最小項對應的位置上填人1,在其余的位置上填人0,就得到了表示該邏輯函數的卡諾圖。
化簡方法
化簡原理：相鄰性的最小項可以合並，並消去不同的因子。由於在卡諾圖上幾何位置相鄰與邏輯上的相鄰性是一致的，所以可以直觀地找出那些具有相鄰性的最小項將其合並化簡。
在看哪些是可以消去因子的時候，找其01均有出現的。
2.卡諾圖化簡法的步驟
用卡諾圖化簡邏輯函數時可按如下步驟進行:
(1)將函數化為最小項之和的形式。
(2)畫出表示該邏輯函數的卡諾圖。
(3)找出可以合並的最小項。
(4)選取化簡后的乘積項。選取的原則是:
①這些乘積項應包含函數式中所有的最小項(應復蓋卡諾圖中所有的1)。（可以多次覆蓋 A+A=A）
②所用的乘積項數目最少。也就是可合並的最小項組成的矩形組數目最少。
③每個乘積項包含的因子最少。也就是每個可合並的最小項矩形組中應包含盡量多的最小項。
注意：對於不是完整的最小項而言，只需要關注已有的因子。
也可以找0再取反。
圈出的矩形要覆蓋所有的1且最少（最少乘積項）最大（乘積項最少因子）。
具有無關項的邏輯函數及其化簡
約束項、任意項、邏輯函數式中的無關項
約束項：不會出現的值，都使其對應的最小項恆等於0.比如000不能出現，則\(A'B'C'=0\)，\(A'B'C'\)即是一個約束項。
由於約束項的值恆等於0，所以邏輯函數式中可以寫也可以不寫。
任意項：輸入變量的某些取值下，函數值是1還是0皆可，並不影響電路的功能。再這些變量取值下，其值等於1的那些最小項稱為任意項。（這個在具體的場景下才會用到？不太理解。
無關項在化簡邏輯函數中的應用
加入無關項應與函數式中盡可能多的最小項具有邏輯相鄰性。
在卡諾圖中，無關項對應的位置添x（無限可能）。