Hamilton-Cayley 定理
- 設 \(A\in F^{n\times n}\), \(C(\lambda)=|\lambda I-A|\)，則\(C(A)=O\).
- 設 \(f\in Hom(V)\)，\(C(\lambda)\) 是 \(f\) 的特征多項式，則 \(C(f)=O\).
題目
設 \(A=\left [ \begin{matrix} -3& 4\\ -3& 5 \end{matrix} \right ]\). 求 \(A^{1000}\).
解答
\(A\) 的特征多項式 \(C(\lambda)=|\lambda I-A| = (\lambda-3)(\lambda+1)\)
設
\[\lambda^{1000}=C(\lambda)q(\lambda)+a\lambda+b \]
這里最后兩項的最高次數為1，這是因為 \(C(\lambda)\) 次數為2， 余數次數最高為1. 帶入 \(\lambda=3\) 和 \(\lambda=-1\)，可以解出
\[a = (3^{1000}-1)/4 \\ b = (3^{1000}+3)/4 \]
則
\[A^{1000} = C(A)q(A)+aA+bI \]
其中根據 Hamilton-Caylay 定理，\(C(A)=O\)，則 \(A^{1000}=aA+bI\)，代入具體數值，計算出即可。