題目
假設 \(s\times n\)矩陣 \(A\) 的秩為 \(r\) ， 證明存在 $s\times r $ 矩陣 \(B\) 及 \(r\times n\) 矩陣 \(C\) ，使得 \(A=BC\) 。
證明
可以證明矩陣 \(B\),\(C\) 的秩均為 \(r\)，其實 \(r=R(A)=R(BC)\le R(B),R(C) \le r\), 易得 \(R(B)=R(C)=r\), 用到了兩個相乘矩陣的積小於等於兩個因數的秩，以及矩陣的秩不會超過行數或列數。
考慮一種特殊情形，如果 \(A\) 如下，則可以拆分成兩個秩為 \(r\) 的矩陣
\[A = \left [ \begin{matrix} I_r & O\\ O & O\\ \end{matrix} \right ] = \left [ \begin{matrix} I_r \\ O \\ \end{matrix} \right ] \left [ \begin{matrix} I_r & O\\ \end{matrix} \right ] \]
另一方面，任意一個秩為 \(r\) 的矩陣 \(A\)，都可以經過有限次初等變換，變成上面考慮的左上角為單位陣的簡單形式。即
\[A = P \left [ \begin{matrix} I_r \\ O \\ \end{matrix} \right ] \left [ \begin{matrix} I_r & O\\ \end{matrix} \right ] Q \\ \therefore B = P \left [ \begin{matrix} I_r \\ O \\ \end{matrix} \right ] \\ C = \left [ \begin{matrix} I_r & O\\ \end{matrix} \right ] Q \]
上述 \(B,C\) 滿足要求，其實 \(B,C\) 的取值有很多種。對於證明本題，已經完成了。但在實際應用中，如何確定 \(P,Q\)? 有沒有辦法直接求解 \(B,C\)? 其實是有的。把 \(A=BC\) 寫成：
\[\left [ \begin{matrix} \alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_n\\ \end{matrix} \right ] = \left [ \begin{matrix} \beta_1 & \beta_2 & \cdots & \beta_r\\ \end{matrix} \right ] \left [ \begin{matrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n}\\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n}\\ \vdots & \cdots & \cdots & \vdots\\ c_{r1} & c_{r2} & \cdots & c_{rn}\\ \end{matrix} \right ] \]
可以看出，\(A\) 的其中一列，是 \(B\) 的各列的線性組合，因此可以選 \(B\) 為 \(A\) 中的一組極大無關線性組，然后用 \(B\) 的各列表示出 \(A\) 的各列，組合的系數就構成了 \(C\)。