設矩陣A為n*n矩陣，那么以下命題等價：
1.A是可逆矩陣。
2.存在n*n矩陣C使得CA=I。
3.存在n*n矩陣D使得AD=I。
4.A的各列線性無關。
5.對於向量空間R^n中任意向量b，方程AX=b有且僅有一個解。
6.A的各列張成R^n。
7.A行等價於單位矩陣。
8.方程AX=0僅有平凡解。
9.A.T是可逆矩陣。
10.A有n個主元位置，有n個主元列，沒有自由元。
向量空間方面：
10.矩陣的零空間nul A只含有零向量，即{0}。
11.矩陣的各列構成R^n的一組基。
12.矩陣的列空間col A=R^n
13.矩陣列空間的維度dim col A=n
14.矩陣的秩rank A=n
15.矩陣零空間的維度dim nul A=0
接下來我們要一點一點地完成論證，透過紛繁蕪雜的信息，抽絲剝繭地思考矩陣可逆的本質；並體會方陣與非方陣，非奇異矩陣和奇異矩陣的異同。
根據可逆矩陣的定義：
因此，1蘊含2，1蘊含3.
接下來證明2蘊含8，即命題“存在n*n矩陣C使得CA=I”蘊含“方程AX=0僅有平凡解。”
由題可得：CAX=C（AX）=C*0=0
CAX=（CA）X=IX=0
可得X=0.
8蘊含10，即“方程AX=0僅有平凡解”蘊含“A有n個主元位置，有n個主元列，沒有自由元。”：
（接上）這同時說明AX=0沒有自由變量（有自由變量的話就有無窮多解），它的每個變量都是主元（有n個主元位置），每列都是主元列。
10蘊含7，即“A有n個主元位置，有n個主元列，沒有自由元。”蘊含“A行等價於單位矩陣”：
已知A是方陣且有n個主元位置，則主元必然位於主對角線上（n個主元位置在不同的行）。所以A的行最簡形是單位矩陣In。
7蘊含1，即“A行等價於單位矩陣”蘊含“A是可逆矩陣。”
我們先證明：
另外，有：
因此：
這也正是我們求逆矩陣的方法：作增廣矩陣（A|E），經過行變換得（E|A^-1）.
至此，我們完成了以下幾個命題的等價證明：
1==> 2==> 8==> 10==> 7==> 1
3蘊含5，即“存在n*n矩陣D使得AD=I。”蘊含“對於向量空間R^n中任意向量b，方程AX=b有且僅有一個解。”：
ADb=Ib=b
得A（Db）=b
所以向量x=Db滿足Ax=b。
命題5和6完全等價。參見向量組的線性相關性。
5蘊含1，即“對於向量空間R^n中任意向量b，方程AX=b有且僅有一個解。”蘊含“A是可逆矩陣。”
由題得A在每一行都有一個主元位置，又因為A是方陣，主元位於主對角線上，A行等價與單位矩陣，故A是可逆矩陣。
我們完成了以下幾個命題的等價證明：
1==>3==>5==>1
命題4和8是完全等價的。參見向量組的線性相關性。
1蘊含9，即“A是可逆矩陣”蘊含“A.T是可逆矩陣”：
因為A.T.T=A，故將A於A.T互換后可得9蘊含1.
至此，完成了可逆矩陣定理1-10的證明。
接下來我們考慮這個問題：假設一個m*n矩陣A，若存在n*m矩陣C和D使CA=I，AD=I；我們可以說矩陣A是可逆的嗎？
事實上，我們可以推出A是方陣（即m=n）且C=D。所以A是可逆的。我們說只有方陣才有可逆的概念。
但是，只滿足一個條件的話不能推出A 可逆。
接下來我們開始論證。
1.設CA=In（n*n單位矩陣），A是m*n矩陣，C是n*m矩陣。先證明Ax=0只有平凡解：
CAX=C（AX）=C*0=0
CAX=（CA）X=IX=0
可得X=0.
因此得到A的各列線性無關。所以列向量的個數小於等於列向量的維度。即行數大於等於列數。
2.設AD=Im（m*m單位矩陣），A是n*m矩陣，D是m*n矩陣。先證明對於R^m中的向量b，Ax=b有解：
ADb=Ib=b
得A（Db）=b
所以向量x=Db滿足Ax=b。
因此A的各列張成Rm，列向量個數大於等於列向量維度，即行數小於等於列數。
結合1，2可得行數等於列數，所以A是方陣。
C=D非常容易論證：