可逆矩陣

　　矩陣 $A$ 為 $n$ 階方陣，若存在 $n$ 階矩陣 $B$，使得矩陣 $A、B$ 的乘積為單位陣，則稱 $A$ 為可逆陣，$B$ 為 $A$ 的逆矩陣。若方陣的逆陣存在，則稱為可逆矩陣或非奇異矩陣，且其逆矩陣唯一。

定義

　　設  $P$  是數域， $A \in P^{n \times n}$ , 若存在  $B \in P^{n \times n}$ , 使得  $A B=B A=E$, $E$  為單位陣, 則稱  $A$  為可逆陣，  $B$  為  $A$  的逆矩 陣, 記為  $B=A^{-1}$  。若方陣  $A$  的逆陣存在，則稱  $A $ 為可逆矩陣或非奇異矩陣。

性質

• 若 $A$ 為可逆矩陣，則 $A$ 的逆矩陣是唯一的。
• 設 $ A 、 B$ 是數域 $ P$ 上的 $ n$ 階矩陣， $ k \in P_{\circ} $
• 若 $ A$ 可逆，則 $ A^{-1}$ 和 $ A^{T}$ 也可逆，且 $ \left(A^{-1}\right)^{-1}=A, \quad\left(A^{T}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{T}$ ;
• 若 $ A$ 可逆，則 $ k A$ 可逆 $ \Leftrightarrow k \neq 0 $，且 $ (k A)^{-1}=\frac{1}{k} A^{-1}$ ;
• $ A 、 B$ 均可逆 $ \Leftrightarrow(A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1}$ 。

常用方法

(1) 判斷或證明 $A$ 可逆的常用方法:

• 證明 $ |A| \neq 0$ ;
• 找一個同階矩陣 $ B$ ，驗證 $ A B=B A=E$ ;
• 證明 $ A$ 的行向量 (或列向量) 線性無關。

(2) 求 $ A^{-1}$ 的方法:

• 公式法: $ A^{-1}=\frac{1}{|A|} A^{*} $, 其中 $ A^{*} $ 為矩陣 $ A$ 的伴隨矩陣。
• 初等變換法：對 $ (A \quad E)$ 作初等變換，將 $ A$ 化為單位陣 $ E$ , 單位矩陣 $ E$ 就化為 $ A^{-1}$ 。