可逆矩陣
- 矩陣 $A$ 為 $n$ 階方陣，若存在 $n$ 階矩陣 $B$ ，使得矩陣 $A、B$ 的乘積為單位陣，則稱 $A$ 為可逆陣，$B$ 為 $A$ 的逆矩陣。若方陣的逆陣存在，則稱為可逆矩陣或非奇異矩陣，且其逆矩陣唯一。
定義
- 設 $P$ 是數域， $A \in P^{n \times n}$ ，若存在 $B \in P^{n \times n}$ ，使得 $A B=B A=E$ ， $E$ 為單位陣，則稱 $A$ 為可逆陣， $ B$ 為 $A$ 的逆矩 陣，記為 $B=A^{-1}$ 。若方陣 $A$ 的逆陣存在，則稱 $A$ 為可逆矩陣或非奇異矩陣。
性質
- 若 $A$ 為可逆矩陣，則 $A$ 的逆矩陣是唯一的。
- 設 $A 、 B$ 是數域 $P$ 上的 $n$ 階矩陣， $k \in P$ 。
- 若 $A$ 可逆，則 $A ^{-1} 和 A^{T}$ 也可逆，且 $\left(A^{-1}\right)^{-1}=A ，\left(A^{T}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{T}$ ;
- 若 $A$ 可逆，則 $k A$ 可逆 $\Leftrightarrow k \neq 0$ ，且 $(k A)^{-1}=\frac{1}{k} A^{-1} $;
- $A 、 B$ 均可逆 $\Leftrightarrow(A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1} $。
常用方法
- 判斷或證明 $A$ 可逆的常用方法:
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- 證明 $|A| \neq 0$ ；
- 找一個同階矩陣 $B$ ，驗證 $A B=B A=E$ ；
- 證明 $A$ 的行向量 (或列向量) 線性無關。
- 求 $A^{-1}$ 的方法:
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- 公式法: $A^{-1}=\frac{1}{|A|} A^{*}$ ，其中 $A^{*}$ 為矩陣 $A$ 的伴隨矩陣。
- 初等變換法: 對 $( A E) $ 作初等變換，將 $A$ 化為單位陣 $E$ ，單位矩陣 $E$ 就化為 $A^{-1}$ 。
非奇異矩陣
- 非奇異矩陣是行列式不為 $0$ 的矩陣，也就是可逆矩陣。意思是 $n$ 階方陣 $A$ 是非奇異方陣的充要條件是 $A$ 為可逆矩陣，也即 $A$ 的行列式不為零。 即矩陣（方陣） $A$ 可逆與矩陣 $A$ 非奇異是等價的概念。
基本信息
- $n$ 階方陣 $A$ 是非奇異方陣的充要條件是 $A$ 為可逆矩陣，也即 $A$ 的行列式不為零。 即矩陣（方陣）$A$ 可逆與矩陣 $A$ 非奇異是等價的概念。
- 對一個 $n$ 行 $n$ 列的非零矩陣 $A$，如果存在一個矩陣 $B$ 使 $AB = BA =E$（ $E$ 是單位矩陣），則稱 $A$ 是可逆的，也稱 $A$ 為非奇異矩陣，此時 $A$ 和 $B$ 互為逆矩陣。
- 一個非奇異矩陣可表示成若干個初等矩陣之積。
- 一個矩陣非奇異當且僅當它的行列式不為零。
- 一個矩陣非奇異當且僅當它代表的線性變換是個自同構。
- 一個矩陣半正定當且僅當它的每個特征值大於或等於零。
- 一個矩陣正定當且僅當它的每個特征值都大於零。
- 一個矩陣非奇異當且僅當它的秩為n
- $AX=b$ 有唯一解
- $AX=0$ 有且僅有零解
- $A$ 可逆
- 如果 $n$ 階方陣 $A$ 奇異，則一定存在一個 $n*1$ 階非零向量 $X$ 使： $X'AX=0$；成立
奇異矩陣
用途示例
- 非奇異矩陣還可以表示為若干個初等矩陣的乘積，證明中往往會被用到。
- 如果 $A_{n×n}$ 為奇異矩陣（singular matrix）<=> $A$ 的秩 $Rank(A)<n$.
- 如果 $A_{n×n}$ 為非奇異矩陣（nonsingular matrix）<=> $A$ 滿秩，$Rank(A)=n$ .
特點