矩阵论练习25（Hamilton-Cayley定理）

Hamilton-Cayley 定理

1. 设 \(A\in F^{n\times n}\), \(C(\lambda)=|\lambda I-A|\)，则\(C(A)=O\).
2. 设 \(f\in Hom(V)\)，\(C(\lambda)\) 是 \(f\) 的特征多项式，则 \(C(f)=O\).

题目

设 \(A=\left [ \begin{matrix} -3& 4\\ -3& 5 \end{matrix} \right ]\). 求 \(A^{1000}\).

解答

\(A\) 的特征多项式 \(C(\lambda)=|\lambda I-A| = (\lambda-3)(\lambda+1)\)
设

\[\lambda^{1000}=C(\lambda)q(\lambda)+a\lambda+b \]

这里最后两项的最高次数为1，这是因为 \(C(\lambda)\) 次数为2， 余数次数最高为1. 带入 \(\lambda=3\) 和 \(\lambda=-1\)，可以解出

\[a = (3^{1000}-1)/4 \\ b = (3^{1000}+3)/4 \]

则

\[A^{1000} = C(A)q(A)+aA+bI \]

其中根据 Hamilton-Caylay 定理，\(C(A)=O\)，则 \(A^{1000}=aA+bI\)，代入具体数值，计算出即可。