參數方程的曲率之小筆記~

1.先來曲率的定義：

 

 

曲率的公式：

 

 

2.那么，既然知道曲率的計算公式了，那么單獨給你一個參數方程，你算得出它得曲率嗎？

同濟教材直接給出他的計算公式，但是我想應該有很多同學不知道怎么推導：

 

 2.1首先得明白什么是參數方程：

百度百科定義如下：

 

 筆者理解參數方程：有時候，我們不難直接研究兩個變量之間得關系，要借助第三個變量來研究問題，第三個變量搭建起了x和y聯系得橋梁，這種方程就叫做參數方程，比如上面的方程，x和y兩者關系不難直接表示，所以借助了第三個變量：t，使得x和y間接產生了聯系。

再說一下參數方程的求導：

比如參數方程

 

在參數方程中，顯然是做不到y對x的直接求導的（除非你把t消去，得到y關於x的表達式），因此只能得到y對t的直接求導。

所以y對x的求導必須要借助y對t的求導和x對t的求導，也就是我們熟知的公式 。

 

那么相應的求y對x的二階導數，也必須要借助對t的求導來得到。也就是

一言以蔽之，參數方程，我們最容易得出的是y和x對於t的直接求導，然后借此來得到y對於x的求導。切記，我們所求導時，必須是誰對於誰的求導，尤其是在多元函數中，把握准了這個，基本上就透徹了。

 

所以下面給出參數方程的曲率公式：

直接利用曲率公式和參數方程求導法則給出：