常見曲線的參數方程

前言

總結梳理常見曲線的參數方程；其中拋物線和雙曲線的參數方程不要求掌握；

參數方程

一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線\(C\)上任意一點\(P\)的坐標\(x\)、\(y\)都是某個變數\(t\)的函數：

\[\left\{\begin{array}{l}{x=f(t)}\\{y=g(t)}\end{array}\right. \]

並且對於\(t\)的每一個允許的取值，由方程組確定的點\((x, y)\)都在這條曲線\(C\)上，那么這個方程就叫做曲線的參數方程，聯系變數\(x\)、\(y\)的變數\(t\)叫做參變數，簡稱參數。相對而言，直接給出點坐標間關系的方程叫普通方程。

例如在運動學，參數通常是“時間”，而方程的結果是速度、位置等。用參數方程描述運動規律時，常常比用普通方程更為直接簡便。對於解決求最大射程、最大高度、飛行時間或軌跡等一系列問題都比較理想。有些重要但較復雜的曲線[例如擺線]，建立它們的普通方程比較困難，甚至不可能，有了參數方程，就可以很容易表達。

直線參數方程

直線的參數方程的形式不唯一，當選定的參數不一樣時，參數方程的形式也就不一樣了。

[方式1]：已知直線所過的定點\((x_0，y_0)\)和傾斜角\(\theta\)，則以定點到動點\((x，y)\)的有向線段的位移為參數，可知

直線的參數方程為$$\begin{cases}x=x_0+cos\theta\cdot t\y=y_0+sin\theta\cdot t\end{cases}(t為參數)$$

[方式2]：以定比分點為參數

[方式3]：以曲線\(M\)上的點與點\(O\)連線的斜率為參數，

例1 以坐標原點\(O\)為極點，\(x\)軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線\(C\)的極坐標方程為\(\rho=4cos\theta\)，曲線\(M\)的直角坐標方程為\(x-2y+2=0(x>0)\)，以曲線\(M\)上的點與點\(O\)連線的斜率為參數，寫出曲線\(M\)的參數方程；

分析：由\(\left\{\begin{array}{l}{x-2y+2=0(x>0)①}\\{y=kx②}\end{array}\right.\)

解方程，消去\(y\)，解得\(x=\cfrac{2}{2k-1}\)，代入②得到，\(y=\cfrac{2k}{2k-1}\)，由\(x=\cfrac{2}{2k-1}>0\)，得到\(k>\cfrac{1}{2}\)

故曲線\(M\)的參數方程為\(\left\{\begin{array}{l}{x=\cfrac{2}{2k-1}}\\{y=\cfrac{2k}{2k-1}}\end{array}\right.\) (\(k\)為參數，\(k>\cfrac{1}{2}\))

圓參數方程

圓\((x-1)^2+(y-2)^2=4\)的參數方程為\(\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cos\theta}\\{y=2+2sin\theta}\end{array}\right.\quad\) (\(\theta\)為參數)

橢圓參數方程

橢圓\(\cfrac{x^2}{4^2}+\cfrac{y^2}{3^2}=1\)的的參數方程為\(\left\{\begin{array}{l}{x=4cos\theta}\\{y=3sin\theta}\end{array}\right.\quad\) (\(\theta\)為參數)

拋物線參數方程

拋物線\(y^2=4x\)的參數方程為\(\left\{\begin{array}{l}{x=4t^2}\\{y=4t}\end{array}\right.\quad\) (\(t\)為參數)

雙曲線參數方程

雙曲線\(\cfrac{x^2}{4^2}-\cfrac{y^2}{3^2}=1\)的的參數方程為\(\left\{\begin{array}{l}{x=4sec\theta}\\{y=3tan\theta}\end{array}\right.\quad\) (\(\theta\)為參數)