【校理】圓錐曲線在平面內的統一方程

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圓錐曲線的一般方程

\[Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0 \]

體現了圓錐曲線的普遍性質，但同時也包含了其退化形式，如圓、直線等。這里我們所要做的，是用能夠體現圓錐曲線的三種形式（橢圓、雙曲線、拋物線）的特征的參數（離心率 、焦點、焦准距、傾斜角）在平面內表示出任意的圓錐曲線。

首先，需要用到圓錐曲線在極坐標中的標准方程

\[\rho=\frac{e\rho}{1-e\cos\theta}\quad(e>0,p>0) \]

這個方程表示一個軸所在直線與極軸所在直線重合的圓錐曲線。其中極點為拋物線焦點，或橢圓左焦點，或拋物線右焦點。

這里我們規定其軸的方向向量\(\vec{n}\)，方向向右（即極軸的正方向），方便后文的解釋說明。

現在將方程對應的曲線繞極點逆時針旋轉\(\alpha\)角（\(0\leq\alpha<2\pi\)），此時方程變為

\[\rho=\frac{ep}{1-e\cos(\theta-\alpha)} \]

與極軸的夾角對應為\(\alpha\)。展開方程，化簡為

\[\rho(1-e\cos\theta\cos\alpha-e\sin\theta\sin\alpha=ep \]

以極軸端點為原點，極軸為\(x\)軸方向，建立平面直角坐標系，則有

\[\begin{cases}\rho\cos\theta=x\\\rho\sin\theta=y\end{cases} \]

代入方程，化簡，得到如下方程：

\[e|x\cos\alpha+y\sin\alpha+p|-\sqrt{x^2+y^2}=0 \]

橫向平移\(g\)個單位，縱向平移\(h\)個單位，使圓錐曲線焦點從\((0,0)\)平移到\((g,h)\)，對應方程為：

\[e|(x-g)\cos\alpha+(y-h)\sin\alpha+p|=\sqrt{(x-g)^2+(y-h)^2} \]

以上所得方程即為圓錐曲線在平面內的統一方程（以\(e\)為離心率，\(p\)為焦准距）。

1. 當\(e>1\)時，表示以\(F(g,h)\)為一個焦點，\(\alpha\)為\(\vec{n}\)與極軸所夾角的雙曲線。
2. 當\(e=1\)時，表示以\(F(g,h)\)為焦點，\(\alpha\)為\(\vec{n}\)與極軸所夾角的拋物線。
3. 當\(e<1\)時，表示以\(F(g,h)\)為一個焦點，\(\alpha\)為\(\vec{n}\)與極軸所夾角的橢圓。

同時，我們也可看到，當\(e=0\)時，方程表示點\(F(g,h)\)。這是圓錐曲線的一種退化形式。

分析這個方程，可以發現僅有五個參數\((e,p,\alpha,g,h)\)，就可以在平面內表示任意一個圓錐曲線，這恰能說明平面內五點可以確定一個圓錐曲線。（不包含其退化形式）

此外，根據這個方程還可以推導出其他相關量。如\(F(g,h)\)對應的准線方程

\[\frac x{\tan\alpha}+y+p\sqrt{1+\frac1{\tan\alpha}}-\frac g{\tan\alpha}-h=0 \]

\(\vec{n}\)所在直線方程：

\[(x-g)\tan\alpha=y-h. \]