“隱函數求導法”求圓雉曲線的切線方程
參考《妙用“隱函數的導數法”求圓錐曲線的切線方程》
以下推導默認切線斜率存在。切線斜率不存在時，換成對 \(y\) 求導即可得出相同的公式。
一般形式
對於圓錐曲線 \(Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0(A^2+B^2\neq 0)\) 求關於 \(x\) 的導數得
\(2 A x+B y+B x y'+2 C y y'+D+E y'=0\)
即 \(\displaystyle y'=-\frac{2 A x+B y+D}{B x+2 C y+E}\)
設 \(P\left(x_0, y_0\right)\) 是曲線上的一點，則過此點的切線斜率為 \(\displaystyle -\frac{2 A x_0+B y_0+D}{B x_0+2 C y_0+E}\)
所以切線方程為 \(\displaystyle y-y_0=-\frac{2 A x_0+B y_0+D}{B x_0+2 C y_0+E}\left(x-x_0\right)\)
即 \(B x_0 y+2 C y y_0+E y-B x_0 y_0-2 C y_0^2-E y_0=-2 A x x_0-B x y_0-D x+2 A x_0^2+B x_0 y_0+D x_0\)
\(2Axx_0+B x_0 y+B x y_0+2 C y y_0+D x+E y=2 A x_0^2+2 C y_0^2+2 B x_0 y_0+D x_0+E y_0\)
\(\displaystyle Axx_0+\frac{B x_0 y+B x y_0}2+C y y_0+\frac{D x}2+\frac{E y}2=A x_0^2+B x_0 y_0+C y_0^2+\frac{D x_0}2+\frac{E y_0}2\)
所以切線方程為 \(\displaystyle A x x_0+B \frac{x_0 y+x y_0}2+C y y_0+D \frac{x+x_0}2+E \frac{y+y_0}2+F=0\)
綜上，若求圓錐曲線 \(Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0\) 以 \(P\left(x_0,y_0\right)\) 為切點的切線方程，只需將圓錐曲線方程中的這些字母進行替換：
| 替換前 | 替換后 |
|---|---|
| \(x^2\) | \(x_0x\) |
| \(y^2\) | \(y_0y\) |
| \(x\) | \(\dfrac{x_0+x}2\) |
| \(y\) | \(\dfrac{y_0+y}2\) |
| \(xy\) | \(\dfrac{x_0y+xy_0}2\) |
配方形式
特殊地，若圓錐曲線的方程是配方后的形式：\(A(x-m)^2+B(y-n)^2+C=0\)，則過點 \(M\left(x_0,y_0\right)\) 的切線方程為 \(A\left(x_0-m\right)(x-m)+B\left(y_0-n\right)(y-n)+C=0\)
要證明這個公式，可以直接對 \(A(x-m)^2=Ax^2-2Amx+Am^2\) 套用上面的結論，即 \(Ax_0x-2Am\frac{x_0+x}2 +Am^2 = Ax_0x-Amx_0-Amx+Am^2=Ax(x_0-m)-Am(x_0-m)=A(x_0-m)(x-m)\)，所以 \(A(x-m)^2 \rightarrow A(x_0-m)(x-m)\)
同理有 \(B(x-n)^2 \rightarrow B(x_0-n)(x-n)\)
故 \(A(x-m)^2+B(y-n)^2+C=0 \rightarrow A\left(x_0-m\right)(x-m)+B\left(y_0-n\right)(y-n)+C=0\)
或者，也可以直接對 \(A(x-m)^2+B(y-n)^2+C=0\) 求關於 \(x\) 的導數，得 \(2A(x-m)+2B(y-n)y'=0\)，即 \(y'=-\frac{A(x-m)}{B(y-n)}\)
所以切線方程為 \(y-y_0=-\frac{A(x_0-m)}{B(y_0-n)}(x-x_0)\)
即 \(A(x_0-m)(x-x_0)+B(y_0-n)(y-y_0)=0\)
\(A(x_0-m)(x-m+m-x_0)+B(y_0-n)(y-n+n-y_0)=0\)
\(A(x_0-m)(x-m)+B(y_0-n)(y-n)=A(x_0-m)^2+B(y_0-n)^2=-C\)
即 \(A\left(x_0-m\right)(x-m)+B\left(y_0-n\right)(y-n)+C=0\)
另：向量法求圓的切線方程
設圓上一點 \(A\left(x_0, y_0\right)\), 則 \(\overrightarrow{OA}\left(x_0-a, y_0-b\right)\)
設切線上任意點 \(B\left(x, y\right)\)
則 \(\overrightarrow{A B}=\left(x-x_0, y-y_0\right)\) 為切線的方向向量
因為切線與半徑垂直，所以
故有 \(\left(x_0-a\right)\left(x-a\right)+(y_0-b)\left(y-b\right)=\left(x_0-a\right)^2+\left(y_0-b\right)^2=r^2\)
所以切線方程為 \((x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2\)
例子
圓
若點 \(M\left(x_0, y_0\right)\) 在圓 \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) 上，則過點 \(M\) 的切線方程為 \(\left(x_0-a\right)(x-a)+\left(y_0-b\right)(y-b)=r^2\)
已知圓 \(C:(x-1)^2+y^2=4\)，過點 \((2,\sqrt3)\) 的切線方程為 \((2-1)(x-1)+\sqrt3y=4\)，即 \(x+\sqrt3y-5=0\)
橢圓
若點 \(P\left(x_0, y_0\right)\) 在橢圓 \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) 上，則過點 \(P\) 的切線方程為 \(\displaystyle\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=1\)
已知橢圓 \(C:\frac{x^2}4+y^2=1\)，過點 \((1,\frac{\sqrt3}2)\) 的切線方程為 \(\frac{x}4+\frac{\sqrt3y}2=1\)，即 \(x+2\sqrt3y-4=0\)
雙曲線
若點 \(P\left(x_0, y_0\right)\) 在雙曲線 \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) 上，則過點 \(P\) 的切線方程為 \(\displaystyle\frac{x_0x}{a^2}-\frac{y_0y}{b^2}=1\)
拋物線
若點 \(P\left(x_0, y_0\right)\) 在拋物線 \(y^2=2px\) 上，則過點 \(P\) 的切線方程為 \(\displaystyle y_0y=2p\frac{x_0+x}2\) 即 \(y_0y=p(x_0+x)\)