圓錐曲線：橢圓小題 解題報告
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由於本人水平有限，可能存在Markdown崩壞，部分題目解題方法可能非最優解，如有更好方法歡迎在評論區指正。
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部分題目解答可能過於口語化，導致並不符合官方（人教版教材）的要求，請各位在考試中不要學習，使用正確的，符合要求的用語。
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本篇博客是為記錄本人在完成學校作業的過程中遇到的問題，同時給部分同學作為解題參考用。
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本篇博客中繪制圖像的工具是geogebra。
1~10題：
1
題目：
已知F~1~,F~2~是橢圓\(x^2/4+y^2/3=1\)的兩個焦點，點P在橢圓上。
（1）若點P到焦點F~1~的距離等於1，則點P到焦點F~2~的距離為（）
（2）過F~1~做直線與橢圓交於A，B兩點，則\(\Delta\)ABF~2~的周長為（）
（3）\(\angle\)PF~1~F~2~=120^。^,則點P到焦點F~1~的距離為（）
解答：
根據方程容易得出a=2，b=1；因為P在橢圓上，則點P到焦點F~2~，F~1~的距離為2a=4；而PF~1~=1，所以PF~2~=3。
由題意易得\(\Delta\)ABF~2~的周長為4a=8.
因為\(\angle\)PF~1~F~2~=120^。^，所以得到方程\(cos\angle\)PF~1~F~2~=\((PF~1~^2+(2a-PF1^2)-F1F2^2)/2*PF1*(2a-PF2)\),解出來PF~1~=\(\sqrt{3}/3\).
其實可以猜一下，此時P點和橢圓上定點重合，算出來是對的。
2
題目：
已知橢圓C：\(x^2/25+y^2/m^2=1（m>0）\)的左右焦點分別為F~1~,F~2~,點P在C上，且\(\Delta\)PF~1~F~2~的周長為16，則m的值是（）
解答：
由題意得a=5，而\(\Delta\)PF~1~F~2~的周長為16=2a+2c，所以c=3。\(a^2-c^2=b^2\),所以b^2^=m^2^=16,m=4.
3
題目：
橢圓以x軸，和y軸位對稱軸，經過點（2，0），長軸長是短軸的兩倍，則橢圓方程（）
解答：
由題意得a=2b.若焦點在x軸上a=2b=1，橢圓方程為\(x^2/4+y^2=1\);
若焦點在y軸上，b=2a=4，橢圓方程為\(x^2/4+y^2/16=1\).
4
題目：
已知F~1~（-1，0），F~2~（1，0）是橢圓C的兩個焦點，過F~2~且垂直於x軸的直線交C於A，B兩點,且\(|AB|=3\)，則橢圓的方程為（）
解答：
由題意得c=1，\(|AB|=3=2b^2/a\).
因為\(b^2=a^2-c^2\),所以\(3=2(a^2-1)/a\),解得a=2或a=-0.5（舍）。所以b=3。橢圓方程為\(x^2/4+y^2/3=1\).
5
題目：
已知橢圓的方程為\(2x^2+3y^2=m(m>0)\),則此橢圓的離心率為（）。
解答：
方程可變化為\(2x^2/m+3y^2/m=1\),所以\(a^2/b^2=(2/m)/(3/m)\),因為\(e=\sqrt{1-a^2/b^2}\),所以\(e=\sqrt{5}/3\).
6
題目：
已知橢圓\(x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)\)的兩焦點分別為F~1~,F~2~，若橢圓上存在點P，使得\(\angle\)F~1~PF~2~=120^。^,則橢圓離心率的取值范圍（）
解答：
當P在橢圓上，下頂點上時\(\angle\)F~1~PF~2~最大，不妨設上頂點為A。為了滿足\(\angle\)F~1~PF~2~=120^。^,\(\angle\)F~1~AF~2~>=120^。^,\(\angle\)F~1~AO>=60^。^,所以\(tan\angle F~1~AO= c/a>= \sqrt{3}/2\);則\(e\in[\sqrt3/2,1]\).
7
題目：
已知F~1~F~2~是橢圓C：\(x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)\)的左右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為\(\sqrt{3}/6\),的直線上，\(\Delta\)PF~1~F~2~為等腰三角形，\(\angle\)F~1~F~2~P=120^。^，則C的離心率為（）
解答：
設A（-a，0）,F~1~(-c,0),F~2~(c,0)，所以直線AP的方程為\(y=\sqrt{3}/6*x+\sqrt{3}/6*a\),
由題意得|PF~2~|=|F~1~F~2~|=2c,所以P（2c，\(\sqrt{3}c\)）;
代入直線方程可得a=4c；所以e=1/4；
8
題目：
已知橢圓C：\(x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)\)的左右頂點A~1~,A~2~,且以線段A~1~A~2~為直徑的圓與直線bx-ax+2ab=0相切，則C的離心率為（）
解答：
由題意得直線到圓心的距離\(d=|2ab|/\sqrt{(a^2+b^2)}=a\),所以\(a^2/b^2=3\),\(e=\sqrt{1-b^2/a^2}=\sqrt{6}/3\).
9
題目：
已知橢圓C的焦點為F~1~（-1，0），F~2~（1，0），過F~2~的直線與c交於A，B兩點，若|AF~2~|=2|F~2~B|，|AB|=|BF~1~|,則C的方程為（）
A.\(x^2/2+y^2=1\) B.\(x^2/3+y^2/2=1\) C.\(x^2/4+y^2/3=1\) D.\(x^2/5+y^2/4=1\)
解答：
|BF~1~|+|F~2~B|=2a，由題意得|AB|+|BF~2~|=2a$\Rightarrow$4|BF~2~|=2a;
所以|AF~1~|=|AF~2~|=a，所以A為短軸端點，\(cos\angle AF2O=1/a\),
\(cos\angle BF1F2=(4+(a/2)^2-(3a/2)^2)/2a=(2-a^2)/a\)
因為\(\angle AF2O+\angle BF1F2=\pi\),
所以\(cos\angle AF2O+cos\angle BF1F2=0\).
\(1/a+(2-a^2)/a=0\Rightarrow a=\sqrt{3}\).
所以b^2^=2,
故選B。
10
題目：
已知橢圓\(X^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)\)的離心率為1/2，則（）
A，a^2^=2b^2^ B,3a^2^=4b^2^ C,a=2b D,3a=4b
解答：
\(e=\sqrt{1-b^2/a^2}=1/2\Rightarrow b^2/a^2=3/4 \Rightarrow 3a^2=4b^2\).
故選B。
11
題目：
曲線C：\(x^2+y^2=1+|x|y\),如圖，給出下面三個結論：
- 曲線C恰好經過6個整點（即橫縱坐標均為整數的點）；
- 曲線C上任一一點到原點的距離都不超過\(\sqrt{2}\);
- 曲線C所圍成的“心形”區域面積小於3.
其中正確結論的序號是（）
解答：
將x換成-x方程不變，所以圖像關於y軸對稱，當x=0時代入得y^2^，y=+1或-1，即曲線過（0，1），（0.-1）；當x>0時，方程變為\(y^2-xy+x^2-1=0\),所以\(\Delta=x^2-4(x^2-1)>=0\),解得\(x\in(0,2\sqrt{3}/3]\),所以x只能取整數1，當x=1時，y=0或1，曲線過（1，1），（1，0）；由對稱性得曲線還過（-1，1）和（-1，0），故1正確。
當x>0時，因為\(x^2+y^2=1+xy\),得\(x^2+y^2-1=xy<=(x^2+y^2)/2（iff x=y時取等）\)，所以\(x^2+y^2<=2\),易得曲線C上任意一點到原點距離不超過\(\sqrt{2}\),故2正確。
S~心~>=\(2*1+1*2*0.5>=3\),故3錯誤。
12
題目：
已知橢圓\(x^2/9+y^2/5=1\)的左焦點F，點P在橢圓上且在x軸上方，若線段PF的中點以原點O為圓心，|OF|為半徑的圓上，則直線PF的斜率是（）。
解答：
由題意得圓的方程為\(x^2+y^2=4\).設直線PF方程為y=kx+b，P（m，n）。則PF中點M為（\(（m-2)/2\)，\((km+b)/2\))。
M點在圓上，所以\((m-2)^2/4+n^2/2=4\);M在橢圓上，所以\(m^2/9+y^2/5=1\).
所以\(4m^2-36m-63=0 \Rightarrow m=-3/2或 m=21/2(舍)\)。
k~PF~=\((\sqrt{15}/2-0)/(-3/2-(-2))=\sqrt{15}\).
其實還有一種解法，我會補上的（咕咕咕）
13
題目：
設F~1~，F~2~為橢圓C：\(X^2/36+y^2/20=1\)兩個焦點，M為C上一點且在第一象限。若\(\Delta\)MF~1~F~2~為等腰三角形，則M的坐標為（）
解答：
設M（m,n）（m>0,n>0）;F~1~F~2~=8。\(a=6,b=2\sqrt{5},c=4,e=c/a=2/3\).
因為M在第一象限，可得|MF~1~|>|MF~2~|，
可能|MF~1~|=2c，或|MF~2~|=2c。
即\(6+2m/3=8 \Rightarrow m=3 or 6-2m/3=8 \Rightarrow m=-3(舍)\)。
所以M\((3,\sqrt{15})\)。
14
題目：
已知橢圓\(x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)\)的離心率為\(\sqrt{5}/3\),橢圓上一點P到兩焦點距離之和為12，則橢圓短軸長為（）。
解答：
由題意得2a=12,a=6;\(e=\sqrt{1-b^2/a^2}=\sqrt{5}/3 \Rightarrow b=4\),2b=8.
此時憨憨plz意識到可以拿手機拍另外一張空白的卷子，而不是手打。
15~19題
15
題目:
點P（0，1），橢圓 \(x^2/4+y^2=m(m>1)\)上兩點A，B滿足\(\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}\),則當m=（）時點B橫坐標的絕對值最大。
解答：
設A（x~1~,y~1~）,B(x~2~,y~2~);
-x~1~=2x~2~,1-y~1~=2（y~2~-1),
因為$x1^2+4y1^2=4m $ \(x2^2+4y2^2=4m\) ;所以\((y1-2y2)(y1+2y2)=-3m \Rightarrow y1-2y2=-m \Rightarrow y1=(3-m)/2,y2=(3+m)/4\);
則\(m=x2^2+((3-m)/2)^2=(-m^2+10m-9)/4\)
即m=5時，B橫坐標絕對值最大。
16
題目：
已知橢圓C：\(x^2/4+y^2=1\)上的三點A，B，C，斜率為負數的直線BC與y軸交與M，若原點O是\(\Delta\)
ABC的重心，且\(\Delta\)BMA與\(\Delta\)CMO的面積之比為3/2，則直線BC的斜率為()
解答：
設B（x~1~,y~1~)，C（x~2~,y~2~),M(0,m),A（x~3~,y~3~),直線BC方程為y=kx+m
因為O是\(\Delta\)ABC的重心；所以\(\Delta\)BMA與\(\Delta\)CMO的高之比為3.
因為\(\Delta\)BMA與\(\Delta\)CMO的面積之比為3/2，則2BM=MC.
即\(2\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{MC},\Rightarrow 2x1+x2=0\)
聯立\(\begin{cases} y=kx+m\\x^2+4y^2=4\end{cases}\Rightarrow(4k^2+1)x^2+8mkx+4m^2-4=0\).
\(x1+x2=-8km/(1+4k^2),x1x2=(4m^2-4)/(1+4k^2)\)
所以\(36k^2m^2=1-m^2+4k^2\)
因為原點O是\(\Delta\)ABC的重心，所以\(x3=-(x1+x2)=8km/(1+4k^2),y3=-(y2+y1)=-[k(x1+x2)+2m]=-2m/(1+4k^2)\).
因為\(x3^2+4y3^2=4\) ,所以\((8km/(1+4k^2))^2+4(-2m/(1+4k^2))^2 \Rightarrow 1+4k^2=4m^2\)
得到\(k^2=1/12\) 因為k<0,所以k=\(-\sqrt{3}/6\).
17
解答：
由直線l為\(\angle\)F~1~PF~2~的外角平分線l垂直於F~2~M，可得|PM|=|PF~2~|
a=5；2a=|PF~1~|+|PF~2~|=|PF~1~|+|PM|=|F~1~M|=10
18
解答：
19
解答：
由題意得|PF~2~|的max為a+c=9，min為a-c=1；
所以a=5，c=4；
e=c/a=4/5
20~29題
20
解答：
由題意得直線AB和\(4x-2y-3=0\)垂直，設直線AB方程為\(y=-x/2+m\),與橢圓方程聯立得\(x^2-2mx+2m^2-2=0\),由題意得\(\Delta=4m^2-4(2m^2-2)>0,則有m^2<2\),設A(x~1~，y~1~)，B（x~2~,y~2~)，因為x~1~+x~2~=2m,所以線段AB中點D（m，m/2），D在直線\(4x-2y-3=0\)上，代入得m=1，所以\(|\overrightarrow{OD}|=\sqrt{5}/2\),\(|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|=2|\overrightarrow{OD}|=\sqrt{5}\).
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解答：
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解答：
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解答：
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此題由於plz太菜了，不會做，希望各位大佬在評論區教教我
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解答：
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解答：
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解答：
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解答：
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解答：
30~40題
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解答：
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解答：
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解答：
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解答：
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解答：
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解答：
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解答：
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解答：
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解答：
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解答：
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解答：
完結撒花
2019年10月5日00:03:49