圓錐曲線與極坐標

參考 https://zhuanlan.zhihu.com/p/33808071

極坐標

在平面內取一個定點 \(O\)，叫極點，引一條射線 \(Ox\)，叫做極軸，再選定一個長度單位和角度的正方向（通常取逆時針方向）。對於平面內任何一點 \(M\)，用 \(\rho\) 表示線段 \(OM\) 的長度（有時也用 \(r\) 表示），\(\theta\) 表示從 \(Ox\) 到 \(OM\) 的角度，\(\rho\) 叫做點 \(M\) 的極徑，\(\theta\) 叫做點 \(M\) 的極角，有序數對 \((\rho,\theta)\) 就叫點 \(M\) 的極坐標，這樣建立的坐標系叫做極坐標系。

極坐標系用長度和角度取代了二維的坐標，相對於一般的直角坐標為下面的優點：

• 便於處理角度的關系
• 便於表示和計算長度

設 \(M\) 為平面上的一點，它的直角坐標為 \((x,y)\)，極坐標為 \((\rho,\theta)\)，易得互化公式：

\[\left\{ \begin{aligned} x &= \rho \cos \theta \\ y &= \rho \sin \theta \end{aligned} \right. \quad\text{or} \left\{ \begin{aligned} \rho^2 &= x^2+y^2 \\ \tan \theta &= \tfrac{y}{x} \ (x\neq 0) \end{aligned} \right. \]

圓錐曲線的極坐標方程

（1）以焦點為極點

記 \(|PF|=\rho\)，\(P\) 到准線 \(l\) 的距離為 \(d\)，焦點到准線的距離為 \(p\)，由圓錐曲線的統一定義知 \(\frac{\rho}{d}=e\)，由圖形可得 \(d=p+\rho \cos\theta\)，代入得 \(\frac{\rho}{p+\rho \cos\theta}=e\)，整理后得到圓錐曲線的統一極坐標方程：

\[\rho=\frac{ep}{1-e\cos\theta} \]

當 \(e=0\) 時，軌跡為圓；\(0<e<1\) 時，軌跡為橢圓；\(e=1\) 時，軌跡為拋物線；\(e>1\) 時，軌跡為雙曲線。

（2）以坐標原點為極點

在這里只考慮橢圓與雙曲線的情況，拋物線也可類比：

橢圓或雙曲線的標准方程（焦點在 \(x\) 軸上）為： \(\frac{x^2}{a^2}\pm\frac{y^2}{b^2}=1\)

代入 \(x=\rho \cos\theta\)，\(y=\rho \sin\theta\) 得：

\(\frac{\rho^2 \cos^2\theta}{a^2}\pm\frac{\rho ^2\sin^2\theta}{b^2}=1\)，提取 \(\rho^2\) 得：

\(\displaystyle\frac{1}{\rho ^2}=\frac{\cos^2\theta}{a^2}\pm\frac{\sin^2\theta}{b^2}\)，此方程表示橢圓或雙曲線的軌跡。

取加號時，軌跡為橢圓；取減號時，軌跡為雙曲線。

一些結論

如圖，\(F\) 為圓錐曲線 \(E\) 的焦點，過 \(F\) 的直線交 \(E\) 與 \(A,B\) 兩點，設直線 \(AB\) 的傾斜角為 \(\alpha\)，則

\[\begin{aligned} &|AF|=\frac{ep}{1-e\cos \alpha} ,\ |BF|=\frac{ep}{1+e\cos \alpha} \\ &|AB|=\tfrac{ep}{1-e\cos \alpha}+\tfrac{ep}{1+e\cos \alpha}=\frac{2ep}{1-e^2\cos^2 \alpha} \end{aligned} \]

（看成以 \(F\) 為極點的極坐標系，由圓錐曲線方程 \(\rho=\frac{ep}{1-e\cos\theta}\)，令 \(\theta=\alpha\) 可得 \(A\) 點的 \(\rho\)，即 \(|AF|\)；同理，令 \(\theta=\alpha+\pi\) 得到 \(B\) 的，再用誘導公式 \(\cos(\theta+\pi)=-\cos \theta\)）

當橢圓與雙曲線以標准方程表示時，焦准距 \(p=\frac{b^2}{c}\)，離心率 \(e=\frac{c}{a}\)，那么

\[\begin{aligned} &|AF|=\frac{b^2}{a-c\cos \alpha} ,\ |BF|=\frac{b^2}{a+c\cos \alpha} \\ &|AB|=\frac{2ab^2}{a^2-c^2\cos^2\alpha} \end{aligned} \]

若 \(\frac{|AF|}{|BF|}=\lambda\)，則 \(\frac{1+e\cos \alpha}{1-e\cos \alpha}=\lambda\)，解出

\[e\cos \alpha = \frac{\lambda-1}{\lambda+1} \]

已知 \(e,\lambda\) 時，可用上式求傾斜角。

特殊地，當該曲線為拋物線時，\(e=1\)，有

\[\begin{aligned} & |AF|=\frac{p}{1-\cos \alpha} \\ & |BF|=\frac{p}{1+\cos \alpha} \\ & |AB|=\frac{2p}{\sin^2 \alpha} \end{aligned} \]

應用

（1）以焦點為極點

例 1 （2017 年全國Ⅰ卷）10．已知 \(F\) 為拋物線 \(C:y^2=4x\) 的焦點，過作兩條互相垂直的直線 \(l_1\)，\(l_2\)，直線 \(l_1\) 與 \(C\) 交於 \(A\)、\(B\) 兩點，直線 \(l_2\) 與 \(C\) 交於 \(D\)、\(E\) 兩點，則 \(|AB|+|DE|\) 的最小值為（　　）
A.16　　B.14　　C. 12　　D.10

解 \(p=2\)，設直線 \(AB\) 的傾斜角為 \(\alpha\)，則直線 \(DE\) 的傾斜角為 \(\alpha+\frac{\pi}{2}\)

使用結論：\(|AB|=\frac{2p}{\sin^2\alpha}=\frac{4}{\sin^2\alpha}\)，同理 \(|DE|=\frac{4}{\sin^2(\alpha+\frac{\pi}{2})}=\frac{4}{\cos^2\alpha}\)

所以 \(|AB|+|DE|=\frac{4}{\sin^2\alpha}+\frac{4}{\cos^2\alpha}=\left(\frac{4}{\sin^2\alpha}+\frac{4}{\cos^2\alpha}\right)\times 1=\left(\frac{4}{\sin^2\alpha}+\frac{4}{\cos^2\alpha}\right)\left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\right)\geq(\frac{2}{\sin \alpha}\sin \alpha +\frac{2}{\cos\alpha}\cos \alpha)^2=(2+2)^2=16\) （柯西不等式）

例 2 （模型來自於同濟大學自招題）已知橢圓 \(C:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)，過左焦點作兩條相互垂直的直線，交橢圓於 \(M,N,P,Q\) 四點，求四邊形 \(MNPQ\) 的面積的取值范圍。

解 依題意 \(e=\frac{1}{2}\)，\(p=3\)，設直線 \(PQ\) 的傾斜角為 \(\alpha\)，則直線 \(MN\) 的傾斜角為 \(\alpha+\frac{\pi}{2}\)

\(|PQ|=\frac{2ep}{1-e^2\cos^2\alpha}=\frac{12}{4-\cos^2\alpha}=\frac{12}{\sin^2\alpha+3}\)

用 \(\alpha+\frac{\pi}{2}\) 代替 \(\alpha\) 得：\(|MN|=\frac{12}{\cos^2\alpha+3}\)

所以 \(S=\frac{1}{2}|PQ||MN|=\frac{72}{(4-\cos^2\alpha)(\cos^2\alpha+3)}\)

此處換元后易求得范圍。

例 3 已知梯形 \(ABCD\) 滿足 \(AB/\!/CD\)，\(\angle BAD =45^\circ\)，以 \(AD\) 為焦點的雙曲線 \(\Gamma\) 經過 \(B,C\) 兩點，若 \(CD=7AB\)，則 \(\Gamma\) 的離心率為
A.\(\frac{3\sqrt{2}}{4}\)　　B.\(\sqrt{2}\)　　C.\(\frac{3\sqrt{2}}{2}\)　　D.\(2\sqrt{2}\)

解 延長 \(CD\) 交 \(\Gamma\) 於點 \(E\)，由對稱性知 \(DE=AB\)，因此 \(\frac{CD}{DE}=\frac{CD}{AB}=7\) 即 \(\lambda=7\)

運用結論 \(e\cos 45^\circ = \frac{\lambda-1}{\lambda+1}\)，得 \(\frac{e}{\sqrt{2}}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\)，\(e=\frac{3\sqrt{2}}{4}\)

（2）以坐標原點為極點

例 4 已知橢圓 \(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，過原點作兩條射線 \(OA\)，\(OB\)，交橢圓於 \(A,B\)，且滿足：\(OA\bot OB\)，求證： \(\frac{1}{|OA|^2}+\frac{1}{|OB|^2}\) 為定值。

解 1 以坐標原點為極點，\(x\) 軸為極軸，建立極坐標系，則：

\(x=\rho \cos\theta\)，\(y=\rho \sin\theta\)，代入橢圓方程得：

\(\frac{1}{\rho ^2}=\frac{\cos^2\theta}{a^2}+\frac{\sin^2\theta}{b^2}\)

設直線 \(OA\) 的傾斜角為 \(\theta\)，則直線 \(OB\) 的傾斜角為 \(\theta+\frac{\pi}{2}\)

\(\frac{1}{|OA| ^2}=\frac{1}{\rho_1 ^2}=\frac{\cos^2\theta}{a^2}+\frac{\sin^2\theta}{b^2}\)

用 \(\theta+\frac{\pi}{2}\) 代替 \(\theta\) 得：

\(\frac{1}{|OB| ^2}=\frac{1}{\rho_2 ^2}=\frac{\sin^2\theta}{a^2}+\frac{\cos^2\theta}{b^2}\)

兩式相加得： \(\frac{1}{|OA|^2}+\frac{1}{|OB|^2}=\frac{\cos^2\theta+\sin^2\theta}{a^2}+\frac{\sin^2\theta+\cos^2\theta}{b^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\)，為定值

用此方法的證明極度簡潔，但擔心會被扣分，因此給出如下“角參”的做法：

解 2 記 \(|OA|=m\)，\(|OB|=n\)，\(\angle AOx=\theta\)，\(\angle BOx=\theta+\frac{\pi}{2}\)

則 \(A(m\cos\theta,m\sin\theta)\)，\(B(n\cos(\theta+\frac{\pi}{2}),n\sin(\theta+\frac{\pi}{2}))\)，即 \(B(-n\sin\theta,n\cos\theta)\)，代入橢圓方程得：

\(\frac{1}{m^2}=\frac{\cos^2\theta}{a^2}+\frac{\sin^2\theta}{b^2}\)

\(\frac{1}{n^2}=\frac{\sin^2\theta}{a^2}+\frac{\cos^2\theta}{b^2}\)

兩式相加得： \(\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}=\frac{\cos^2\theta+\sin^2\theta}{a^2}+\frac{\sin^2\theta+\cos^2\theta}{b^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\)，為定值

其實本質上還是極坐標的思想，不過這樣寫就不會被當作超綱了~

在這里有人可能會想到橢圓的參數方程： \((a\cos\theta,b\sin\theta)\)

但是由於參數方程里面的 \(\theta\) 並沒有明確的幾何意義，因此在這里不能使用！！