極坐標系
極坐標系由極點（相當於平面直角坐標系中的原點）和 x 軸正半軸組成，該坐標系中的任意位置可由一個夾角和一段相對於極點的距離來表示。
極坐標的格式
\((r,\theta)\)，其中 \(r\) 叫做半徑坐標，\(\theta\) 叫做極角。
極坐標系與平面直角坐標系之間的變換
極坐標 \((r,\theta)\)，直角坐標 \((x,y)\)
直角坐標到極坐標
\[r = \sqrt{x^2+y^2}\\ \theta = \arctan2(y,x) \]
極坐標到直角坐標
\[x=r\cos \theta\\ y=r\sin \theta \]
極坐標系方程
圓
如果限定極點為圓心，那么半徑為 \(a\) 的圓的方程為 \(r(\theta)=a\)。
如果圓心為 \((r_0,\theta)\)，圓的半徑為 \(R\)，那么此圓的直角坐標系方程為：
\[(x-r_0\cos\theta)^2+(y-r_0\sin\theta)^2=R^2 \]
設圓上的點的極坐標為 \((p,\alpha)\)，則 \(x=p\cos\alpha\)，\(y=p\sin\alpha\)。
因此：
\[p^2-2pr_0(\cos\alpha\cos\theta+\sin\alpha\sin\theta)+r_0^2=R^2 \]
即：
\[p^2+r_0^2-2pr_0\cos(\alpha-\theta)=R^2 \]
直線
過極點的射線方程：\(\theta=\varphi\)，其中 \(\varphi\) 為射線的傾斜角。
任何不經過極點的直線都會與某條過極點的射線垂直，若某直線在點 \((r_0,\varphi)\) 處與射線 \(\theta=\varphi\) （該射線過極點）垂直，那么它的方程為：
\[r(\theta)=r_0\frac1{\cos(\theta-\varphi)} \]
阿基米德螺線
\[r(\theta)=a+b\theta \]
這里 \(\theta\in[0,\infty)\)。
常量 \(b\) 控制螺線間距離，常量 \(a\) 改變螺線形狀。
玫瑰線
\[r(\theta)=a\cos (k\theta) \]
或者
\[r(\theta)=a\sin(k\theta) \]
就是把三角函數盤起來了。