在 一個 極坐標系 里， 可以這樣 來 描述 牛頓第二定律， 如圖， 圖中 是一個 極坐標系， 質點 從 A 點 運動到 C 點， 極角 的 變化量 就是 ⊿θ ， 極徑 的 變化量 ⊿ρ = BC 。 其中 OA = OB， AH 垂直於 OB， AB 間 的 弧 記為 弧AB， AB 間 的 線段 仍然 稱為 AB 。
可以這樣 來 表達 牛頓第二定律 ：
d²ρ / dt² = Fρ / m (1) 式
ρ d²θ / dt² = Fθ / m (2) 式
m 是 質點 的 質量 ， Fρ 是 極徑方向 的 力， Fθ 是 切線方向 的 力 。
我們說一下 (2) 式 的 推導過程 ：
(1) 式 是 質點 在 極徑 ρ 方向 的 加速度， 簡稱 徑向加速度， (2) 式 是 切線方向 的 加速度， 簡稱 切向加速度，
切線方向 就是 與 極徑 ρ 正交 的 方向 。
切向運動 總 和 徑向運動 正交， 切向位移 總是 和 徑向位移 正交， 質點 從 A 運動 到 B， ρ 不變， θ 變， 那么 切線方向 的 路程 s切 = 弧AB， 因為 弧AB 上每個 點 都 和 極徑 ρ 正交 。
如果 質點 從 A 運動 到 C， ρ 變， θ 變， 則 弧 AB 只有在 A 點 才和 ρ 正交， 弧 AB 不是 切線方向 的 路程 s切 。
此時， 切線方向 的 路程 s切 需要 通過 積分 求得 ：
s切 = ∫ ρ ( t ) dθ (3) 式
ρ = ρ ( t ) 的 時刻 t 的 ρ ， dθ 是 時刻 t 的 dθ 。
對 (3) 式 兩邊 微分，
ds切 = ρ ( t ) dθ
兩邊除以 dt ，
ds切 / dt = ρ ( t ) dθ / dt
ds切 / dt 就是 切向速度 v切， 即
v切 = ρ ( t ) dθ / dt
兩邊 對 dt 求導，
dv切 / dt = d ( ρ ( t ) dθ / dt ) / dt
dv切 / dt 就是 切向加速度 a切， 即
a切 = d ( ρ ( t ) dθ / dt ) / dt
因為 現在是 在 計算 切向變量， 所以 徑向變量 可以看作 常量 （這是 神馬 邏輯 ？） ， 所以 ρ ( t ) 可以 提到 微分符號 外面 來， 於是，
a切 = ρ ( t ) * d ( dθ / dt ) / dt
a切 = ρ ( t ) * d²θ / dt²
因為 ρ = ρ ( t ) ， ρ ( t ) 可以 寫成 ρ ， 於是，
a切 = ρ * d²θ / dt²
即
a切 = ρ d²θ / dt²
根據 牛頓第二定律 a切 = Fθ / m ， 於是，
Fθ / m = ρ d²θ / dt²
ρ d²θ / dt² = Fθ / m 此即 (2) 式
以上 推導 稱為 推導 1 。
其實 還可以用 微元法 或者說 微分 的 方法 來 推導， 稱為 推導 2 ：
設 質點 從 A 運動 到 C， 在 時刻 t 時 位於 A 。 雖然 質點 從 A 運動 到 C， ρ 在 變化， 但是 當 ⊿θ -> 0 時， ⊿ρ -> 0， 弧AB -> 0 ， 此時 的 弧AB 可以 認為 和 OA 正交， OA 即 時刻 t 時 的 ρ ，
所以 可以 用 弧AB -> 0 來 表示 時刻 t 時 的 切向路程 s切， 於是， t 時 的 切向速度 v切 = s切 / ⊿t = 弧AB / ⊿t , 弧AB -> 0 , ⊿t -> 0 。
又因為 弧AB -> 0 = OA * ⊿θ = ρ * ⊿θ , ⊿θ -> 0 ，於是，
v切 = ρ * ⊿θ / ⊿t , ⊿θ -> 0 , ⊿t -> 0
寫成 微分 的 形式 就是
v切 = ρ * dθ / dt
注意， 推導 1 中 的 “現在是 在 計算 切向變量， 所以 徑向變量 可以看作 常量” 這個 原則 在 這里 仍然 適用， 因為 對於 dt， ρ 是 有 dρ 的， 如果 在 計算 切向 速度 加速度 的 時候 再把 dρ 計算進來， 那就 …… 沒完沒了 了 。
從這里， 可以看出， 數學家 很多時候 也是 依靠 直觀 直覺 的 ， 只不過 這些 不會 寫在 論文 傳記 教科書 里 。
不然的話， 請給出 為什么 此處 計算 v切 a切 不算入 dρ ，或者說 把 ρ 當作 常量 的 證明 。
我估計 對 這個 問題 較真 會 引發 第四次數學危機 …… ~
書歸正傳， 對 v切 求導 就是 加速度 a切， 即
a切 = ( v切 ) ′ = d ( ρ * dθ / dt ) / dt = ρ * d ( dθ / dt ) / dt = ρ d²θ / dt² ， 當然， 這里把 ρ 從 微分符號 里 提出來， 又用了一次 “現在是 在 計算 切向變量， 所以 徑向變量 可以看作 常量” 原則 。
於是，
a切 = ρ d²θ / dt² 此亦 (2) 式
大家可能會說 推導 1 其實 也是 以 推導 2 為 前提 的 ， 這樣的話， 推導 1 是 無意義 的 循環論證 …… 隨便， 你們 愛怎么想 就 怎么想 吧 ，哈哈 。
為什么 要 研究 極坐標系 下的 牛頓第二定律 ？ 一個 直接的 需求 是 天體力學 里的 一體 二體 問題 。
一體 問題 就是 一個 行星 圍繞 一個 恆星 公轉， 恆星 不受 行星 的 引力 影響 。 恆星 不受 行星 的 引力 影響 是 一種 理想狀況， 所以 一體問題 又稱為 理想公轉問題 。
二體 問題 和 一體 問題 的 區別 是 兩個 天體 均受到 對方 引力 的 影響 。
見 《人造衛星軌道 和 天體軌道 原理》 https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/11867972.html 。
在 《人造衛星軌道 和 天體軌道 原理》 中 提出了 一體 問題 在 直角坐標系 下 的 微分方程組， 由 x 坐標 和 y 坐標 的 2 個 方程 組成，
因為 兩個 方程 之間 互相關聯， 所以 方程組 難於求解 。
但是 用 極坐標系 的 話， 以 恆星 為 原點， 行星 受到 的 引力 F 永遠 在 極徑 方向， 這樣 行星 的 運動規律 表達為 牛頓第二定律 只需要 一個 方程 ：
d²ρ / dt² = - F / m ， m 為 行星質量
根據 萬有引力公式， F = G M m / ρ² ， M 為 恆星質量 ， 代入 方程，
d²ρ / dt² = - G M / ρ² (4) 式
這就是 極坐標系 下 的 一體問題 的 微分方程， 在 極坐標系 是 牛頓第二定律 用 一個 方程 就可以 表達 出來， 一個 方程 比 方程組 易於 求解 。
因為 行星 可能有 初速度， 初速度 可能 包含 徑向 和 切向 分量， 切向速度 會 讓 θ 發生變化， 當 θ 改變 時， 行星速度 的 徑向分量 和 切向分量 會 隨之改變，
在 沒有 力 作用 的 情況下， 當 θ 改變 時， 行星速度 的 徑向分量 和 切向分量 會 隨之改變，
也就是說， 徑向速度 的 加速度 除了 由 徑向 的 引力 F 引起 外， 還 包含 由 θ 變化 引起 的 成分， θ 變化 的 原因 是 行星 的 速度 包含 切向分量 ， 行星 的 速度 包含 切向分量 的 原因 是 行星 的 初速度 包含 切向分量 ， 因為 如果 初速度 沒有 切向分量， 則 行星 只會 在 徑向 上 運動， 不會 產生 切向速度 。
所以， 還需要在 (4) 式 中 加入 θ 變化 引起 的 徑向加速度 。
設 行星速度 為 v， 徑向分量 為 v徑， 切向分量 為 v切， θ 變化 引起 的 徑向加速度 為 a_ρθ ，
設 θ 變化 引起 的 徑向速度 變化 為 ⊿ v_θ引起 ， 微分 為 dv徑_θ引起 ， 則 ：
dv徑_θ引起 = v切 因 θ 變化 產生的 徑向增量 + v徑 因 θ 變化 產生的 徑向增量
v切 因 θ 變化 產生的 徑向增量 = v切 sin dθ
v徑 因 θ 變化 產生的 徑向增量 = v徑 cos dθ - v徑
dv徑_θ引起 = v切 sin dθ + v徑 cos dθ - v徑
因為
v切 = ρ dθ / dt
v徑 = dρ / dt
所以，
dv徑_θ引起 = ρ dθ / dt sin dθ + dρ / dt cos dθ - dρ / dt
兩邊 除以 dt，
dv徑_θ引起 / dt = ( ρ dθ / dt sin dθ + dρ / dt cos dθ - dρ / dt ) / dt，
dv徑_θ引起 / dt 就是 θ 變化 引起 的 徑向加速度 a_ρθ ，
即 a_ρθ = ( ρ dθ / dt sin dθ + dρ / dt cos dθ - dρ / dt ) / dt 。
行星 在 徑向 總的 加速度 aρ 等於 引力 引起 的 徑向加速度 a_引 加上 θ 變化 引起 的 徑向加速度 a_ρθ 。 即 ：
aρ = d²ρ / dt²
a_引 = - G M / ρ²
a_ρθ = ( ρ dθ / dt sin dθ + dρ / dt cos dθ - dρ / dt ) / dt
aρ = a_引 + a_ρθ
d²ρ / dt² = - G M / ρ² + ( ρ dθ / dt sin dθ + dρ / dt cos dθ - dρ / dt ) / dt (5) 式
(5) 式 就是 在 (4) 式 中 加上了 a_ρθ ， (5) 式 就是 一體問題 在 極坐標系 下 的 微分方程 。
這個 微分方程 怎么解 ？ 不知道 。 好處 是 把 ρ , θ 放到了 一個 方程 里， 避免了 方程組 。
這個 方程 的 解 是 ρ , θ 和 t 的 函數關系， 記為 f ( ρ , θ ) = t ， 以 t 為 自變量 的 函數圖像 應該是一個 橢圓 。
即 一體問題 行星 公轉 的 軌道 是一個 橢圓， 橢圓形狀 和 位置 由 恆星質量 、行星質量 、行星 初始位置 初始速度 決定 。
解微分方程 的 過程中 會 進行 積分， 積分 會 產生 積分常數， 行星 初始位置 初始速度 就 體現 在 積分常數， 積分常數 的 具體數值 由 行星 初始位置 初始速度 決定 。
二體問題 可以通過 約化質量 轉化為 一體問題， 所以 也可以用 極坐標系 求解， 但 這樣得到的 解 仍然 是 不完備 的， 因為 這樣的解 只描述了 一個 質點 相對於 另一個 質點 的 運動狀況， 沒有 描述 兩個質點 在 第三方參照系 中 的 運動狀況 。