極坐標系中求曲線交點的困惑

前言

求兩個曲線的交點問題，在直角坐標系下明明求解有兩個交點，但是在極坐標系下卻只能求得一個交點，到底為什么呢？

典例剖析

例1 求曲線\(C_1：\rho=2sin\theta\)和曲線\(C_2：\rho=2\sqrt{3}cos\theta\)的交點。

[法1]：在直角坐標系下思考計算，

將曲線\(C_1\)轉化為普通方程為\(x^2+(y-1)^2=1\)，

將曲線\(C_2\)轉化為普通方程為\((x-\sqrt{3})^2+y^2=3\)，

將二者聯立，得到\(\left\{\begin{array}{l}{x^2+(y-1)^2=1}\\{(x-\sqrt{3})^2+y^2=3}\end{array}\right.\)

解得兩個交點的坐標為\((0,0)\)和\((\cfrac{\sqrt{3}}{2},\cfrac{3}{2})\)；

[法2]：在極坐標系下思考計算，

將二者聯立，得到\(\left\{\begin{array}{l}{\rho=2sin\theta}\\{\rho=2\sqrt{3}cos\theta}\end{array}\right.\quad\) 消去\(\rho\)，

得到\(tan\theta=\sqrt{3}\)，即\(\theta=\cfrac{\pi}{3}\)。代入計算得到\(\rho=\sqrt{3}\)，

則交點的直角坐標為\((\rho\cdot cos\theta，\rho\cdot sin\theta)=(\cfrac{\sqrt{3}}{2},\cfrac{3}{2})\)

[困惑]：解法2怎么少了一個交點\((0,0)\)?

分析：在極坐標系中，如果限定極角的范圍是\([0,2\pi)\)，則極坐標系中的所有點(必須排除極點\(O\))和其極坐標\((\rho,\theta)\)之間是一一對應的，只有極點最特殊，我們規定極點的\(\rho=0\)，但是其極角\(\theta\)在前提范圍\([0,2\pi)\)內是任意的，這就造成了一個特殊情況。

比如上述問題，在表達式\(C_1：\rho=2sin\theta\)中，令\(\theta=0\)，則\(\rho=0\)，此時對應極點\((0,0)\)，

在表達式\(C_2：\rho=2\sqrt{3}cos\theta\)中，令\(\theta=\cfrac{\pi}{2}\)，則\(\rho=0\)，此時對應極點\((0,\cfrac{\pi}{2})\)，

這樣我們在極坐標系下就找回了丟失的另一個交點。

解后反思：如果兩個曲線的交點經過極點，那么在極坐標系下求解很有可能會失根，而同樣的情形在直角坐標系下卻不會，發生這樣的問題；所以凡是涉及經過極點的曲線的交點的求解，高考題目的求解思路都是在直角坐標系下給出的。同時，我們也就能理解在極坐標系下的極點的坐標為什么要那樣規定。

引申 求直線\(\rho\cdot cos\theta+2\rho\cdot sin\theta=1\)和\(2\rho\cdot cos\theta-3\rho\cdot sin\theta=2\)的交點。

上述題目在極坐標系下求交點容易呢，還是在直角坐標系下求交點容易。

解后反思：當涉及到的曲線兩個都沒有經過極點時，我們還是在在直角坐標系下求交點容易些。

[2018山西太原二模]