极坐标系中求曲线交点的困惑

前言

求两个曲线的交点问题，在直角坐标系下明明求解有两个交点，但是在极坐标系下却只能求得一个交点，到底为什么呢？

典例剖析

例1 求曲线\(C_1：\rho=2sin\theta\)和曲线\(C_2：\rho=2\sqrt{3}cos\theta\)的交点。

[法1]：在直角坐标系下思考计算，

将曲线\(C_1\)转化为普通方程为\(x^2+(y-1)^2=1\)，

将曲线\(C_2\)转化为普通方程为\((x-\sqrt{3})^2+y^2=3\)，

将二者联立，得到\(\left\{\begin{array}{l}{x^2+(y-1)^2=1}\\{(x-\sqrt{3})^2+y^2=3}\end{array}\right.\)

解得两个交点的坐标为\((0,0)\)和\((\cfrac{\sqrt{3}}{2},\cfrac{3}{2})\)；

[法2]：在极坐标系下思考计算，

将二者联立，得到\(\left\{\begin{array}{l}{\rho=2sin\theta}\\{\rho=2\sqrt{3}cos\theta}\end{array}\right.\quad\) 消去\(\rho\)，

得到\(tan\theta=\sqrt{3}\)，即\(\theta=\cfrac{\pi}{3}\)。代入计算得到\(\rho=\sqrt{3}\)，

则交点的直角坐标为\((\rho\cdot cos\theta，\rho\cdot sin\theta)=(\cfrac{\sqrt{3}}{2},\cfrac{3}{2})\)

[困惑]：解法2怎么少了一个交点\((0,0)\)?

分析：在极坐标系中，如果限定极角的范围是\([0,2\pi)\)，则极坐标系中的所有点(必须排除极点\(O\))和其极坐标\((\rho,\theta)\)之间是一一对应的，只有极点最特殊，我们规定极点的\(\rho=0\)，但是其极角\(\theta\)在前提范围\([0,2\pi)\)内是任意的，这就造成了一个特殊情况。

比如上述问题，在表达式\(C_1：\rho=2sin\theta\)中，令\(\theta=0\)，则\(\rho=0\)，此时对应极点\((0,0)\)，

在表达式\(C_2：\rho=2\sqrt{3}cos\theta\)中，令\(\theta=\cfrac{\pi}{2}\)，则\(\rho=0\)，此时对应极点\((0,\cfrac{\pi}{2})\)，

这样我们在极坐标系下就找回了丢失的另一个交点。

解后反思：如果两个曲线的交点经过极点，那么在极坐标系下求解很有可能会失根，而同样的情形在直角坐标系下却不会，发生这样的问题；所以凡是涉及经过极点的曲线的交点的求解，高考题目的求解思路都是在直角坐标系下给出的。同时，我们也就能理解在极坐标系下的极点的坐标为什么要那样规定。

引申 求直线\(\rho\cdot cos\theta+2\rho\cdot sin\theta=1\)和\(2\rho\cdot cos\theta-3\rho\cdot sin\theta=2\)的交点。

上述题目在极坐标系下求交点容易呢，还是在直角坐标系下求交点容易。

解后反思：当涉及到的曲线两个都没有经过极点时，我们还是在在直角坐标系下求交点容易些。

[2018山西太原二模]